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Geometrische Anforderungen beim Datenaustausch
geographischer Raum
räumliche Ausdehnung
räumliche Dimension (2D oder 3D)
geodätisches Bezugssystem
Kartenprojektion
Maßstab
geometrische Repräsentation
geometrische Auflösung / Mindestgrößen
geometrische Genauigkeit
analog/digital
Vektor-/ Rasterdarstellung.
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Tabelle 3-1: Beispiele für Rotationsellispoide
Kugel- und Rotationsellipsoidoberfläche sind gekrümmte Flächen. Diese eignen sich in der Praxis nicht zur Beschreibung der Lage, da ihnen eine komplexe Metrik zugrunde liegt. Deshalb bildet man die Bezugsfläche mit Hilfe einer Kartenprojektion in die Ebene (x,y) ab. Man wählt dabei eine Abbildungsfläche, welche sich gut an die Bezugsfläche anschmiegt und sich verzerrungsfrei in der Ebene abrollen läßt. Es sind dies Zylinder, Kegel und Ebene. Die Kartenprojektion ist eine Abbildungsvorschrift zwischen Bezugsfläche und Abbildungsfläche, welche nicht verzerrungsfrei ist. Eine Kartenprojektion kann nicht gleichzeitig längen-, winkel- und flächentreu sein. Daraus resultiert eine Vielzahl von Kartenprojektionen mit eigener Charakteristika, welche die unterschiedlichen Anforderungen an die geometrischen Verzerrungen und die Abdeckung eines geographischen Raum erfüllen (Siehe z.B. [Snyder 87], [Hake/Grünreich 94], [Voser 95b]).
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Tabelle 3.2: Aufstellung von Kartenprojektionen nach Gebietsabdeckung und Abbildungseigenschaften
==> Abb.2: Von der Erdoberfläche zu zweidimensionalen Lagekoordinaten
==> Abb. 1: Topographie, Geoid und Ellipsoid
Ein Punkt an der Erdoberfläche läßt sich durch seine räumliche Lage (kartesische Koordinaten P3D(X,Y,Z) oder ellipsoidische Koordinaten P3D(lambda,phi,h)) und durch den Einfluß der Schwere beschreiben. Eine geometrische Komponente der Schwere ist die Lotrichtung. Die Lotrichtung wird durch astronomische Länge Lambda und Breite Phi beschrieben. Die Differenz zu den ellipsoidischen Koordinaten definiert die Lotabweichung (xi oder dLambda, eta oder dPhi). Die Form des Geoides kann durch die Geoidundulation beschrieben werden. Als praktische Größe ist die Orthometrische Höhe H jedoch zweckmäßiger. Die von der Schwere abhängigen Größen N(lambda,phi), xi(lambda,phi), eta(lambda,phi) sind physikalisch und mathematisch modellierbar und abhängig von deren Lage. Im Idealfall liegen für einen Punkt der Erdoberfläche 6 Größen vor, welche durch geodätische Messungen bestimmbar sind, z.B. P"6D"(X,Y,Z,Lambda,Phi,H). In vielen Fällen sind Punkte jedoch nur in 2-dimensionaler Form P2D(lambda,phi) oder in (2+1)-dimensionaler (auch 21/2D) Form P(2+1)D(lambda,phi,H) vor. Dreidimensionale Punkte P3D(X,Y,Z) liegen vor, wenn diese z.B. mit Hilfe des Global Positioning System (GPS) gemessen worden sind.
Die Erdoberfläche ist eine komplexe dreidimensionale räumliche Fläche (Abb. 1, 2a). Die Bestimmung und Diskretisierung der Form erfolgt durch das Einmessen von Punkten. Für die Orientierung im Gelände unterscheidet man zwischen der Lage und der Höhe (Abb. 2b). Die Lage bezieht sich auf die von der jeweiligen Landesvermessung festgelegte, als Rotationsellipsoid ausgeprägte Bezugsfläche (geodätisches Datum, Abb. 2d). Die Reduktion der Lage auf der Erdoberfläche erfolgt entlang der Ellipsoidnormale als Helmert´sche Projektion. Als Produkt resultieren die ellipsoidischen Koordinaten, bestehend aus geographischer Länge, geographischer Breite und ellipsoidischer Höhe. Die ellipsoidischen Koordinaten desselben Punktes unterscheiden sich je nach verwendetem Ellipsoid. Aus den geographischen Koordinaten werden unter Verwendung der Ellipsoidparameter und der gewählten Kartenprojektion mit deren Parametrisierung 2-dimensionale Lagekoordinaten bestimmt (Abb. 2e). Zu erwähnen sind im deutschsprachigen Raum Gauß-Krüger-Koordinaten, UTM-Koordinaten, schweizerische Landeskoordinaten. Zusammenfassend betrachtet sind Projektionskoordinaten ein Abbild der Erdoberfläche, wobei Höheninformation weggelassen werden, ein geodätisches Datum verwendet wird, und für die Abbildung vom Ellipsoid in die Ebene ein Kartenprojektion zugrunde liegt. Aus dem 3D-Raum erfolgt i.d.R. eine nicht (exakt) umkehrbare Abbildung in eine 2D-Ebene, weil Ungenauigkeiten der physikalischen und mathematischen Modelle einfließen und Vernachlässigungen hingenommen werden.
P3D(X,Y,Z) -> P2D(x,y) + hell(x,y) bei echten 3D-Koordinaten
P(2+1)D(lambda,phi,H) -> P2D(x,y) + H(x,y) bei 21/2D-Koordinaten
P2D(lambda,phi) -> P2D(x,y) bei 2D-Koordinaten
==> Abb.2: Von der Erdoberfläche zu zweidimensionalen Lagekoordinaten
==> Abb. 1: Topographie, Geoid und Ellipsoid
4. Georeferenzierung von
Lagekoordinaten unterschiedlicher
Herkunft.
Lagekoordinaten von Geodaten sind i.d.R. in einem ebenen und metrischen Koordinatensystem definiert. Die Ausnahme bilden geographische Koordinaten (lambda,phi), welche einer mathematischen, räumlichen Richtung entsprechen. Zu den metrischen 2D-Koordinaten gehören:
mathematisches rechtwinkliges Koordinatensystem oder Polarkoordinaten
geodätisches ebenes Koordinatensystem: ebene Landeskoordinaten
örtliches (lokales) Koordinatensystem
Kartenblattkoordinaten
Bildkoordinaten
Digitalisiertischkoordinaten
Bildschirmkoordinaten.
Beim Prozeß der Georeferenzierung liegen die Geodaten oft in einem lokalen Koordinatensystem vor. In einem ersten Schritt sind diese in ebene Projektionskoordinaten zu transformieren (Abb. 3a). Ist die Kartenprojektion mit Parametrisierung bekannt, kann die Umrechnung auf die Bezugsfläche erfolgen (Abb. 3b). Beim Zusammenführen von Geodaten unterschiedlicher geodätischer Bezugssysteme ist eine Datumstransformation erforderlich (Abb. 3c).
==> Abb.3: Prozesse der Georeferenzierung zur Homogenisierung des Koordinatensystems
- 4.1 Die Einpassung lokaler
Koordinaten in
Projektionskoordinaten
Die ebene Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen kann an eine Vielzahl von Bedingungen geknüpft sein. Wie bei Kartenprojektionen treten unterschiedliche Verzerrungen auf. Geometrische Bedingungen können sein:
Geradentreue
Parallelentreue
Winkeltreue
Flächentreue
Längentreue
Kreistreue
ausgewählte Punkte müssen definierte Koordinaten erhaltenTransformationsart Geradentreue Parallelentreue Winkeltreue Flächentreue Längentreue Kreistreue Maßstab benötigte Punkte Ebene Transformation projektiv x o o o o o 4 affin x x o o o o m1, m2. 3 ähnlich x x x o o o 1 2 krummlinig o o o o o o n Bausteine der Ähnlichkeitstransformation Translation x x x x x x 1 1 Rotation x x x x x x 1 2 Streckung x x x o o o m 2 * Ohne Übereinstimmung Tabelle 3: Auswahl von geometrischen 2D-Transformationen und deren Eigenschaften
Für die Transformation lokaler Koordinaten in Projektionskoordinaten wird i.d.R. Geradentreue, Parallelentreue, und Winkeltreue angestrebt. Die Ähnlichkeitstransformation, auch als Helmerttransformation bekannt, hat diese Eigenschaften. Sie besteht aus zwei Translationen, einer Rotation und einer Strekung. Ist bekannt, daß Pläne und Karten infolge von Alterung und Feuchtigkeit einen Verzug besitzen, so wird die Affintransformation angewendet. Ein Verzug läßt sich beschreiben durch zwei Hauptmaßstäbe und die Verscherung (Maß der Winkelverzerrung). Es entspricht der Abweichung des Abbildes der Ursprungskoordinatenachsen vom Rechten Winkel. Dazu gehören noch zwei Translationen und eine Rotation. Transformationen erfolgen i.d.R. unter Zuhilfenahme von Paßpunkten. Dies sind Punkte, die in beiden Systemen bekannt sind. Als Paßpunkte werden verwendet:
geodätische Festpunkte 
Koordinatengitterpunkte (Punkte runder Koordinatenwerte der Projektionskoordinaten) 
Kartennetzpunkte (Punkte mit bekannter geographischer Länge und Breite) 
natürliche charakteristische Punkte (Straßenkreuzungen, Flußmündungen ...) Liegen die Koordinatengitter- und Kartennetzpunkte oder -linien digital vor, läßt sich der Transformationsprozeß teilweise automatisieren. Sind die Punkte nicht explizit vorhanden, so lassen sie sich als Linienschnittpunkte extrahieren. Durch Zuweisen der originalen Koordiantenwerte zu Koordinatengitterpunkte erhält man direkt die Paßpunkte in Projektionskoordinaten (Abb. 4a). Bei Kartennetzpunkten erhält man Punkte auf dem zugehörigen Ellipsoid in geographischer Länge und Breite. Durch die Kenntnis der Kartenprojektion lassen sich diese ebenfalls in Projektionskoordinaten projizieren (Abb. 4b).
==> Abb. 4: Georeferenzierung lokaler Koordinaten
- 4.2 Zugrundeliegende
Kartenprojektion
Jede Karte ist einer Kartenprojektion, und damit den zugehörigen metrischen Verzerrungseigenschaften unterworfen. Sind diese Informationen nicht bekannt, ist eine metrische Interpretation nicht möglich. Einem guten Kartenwerk oder Geodatensatz ist die Information über die Kartenprojektion somit beigeführt. Bei vielen analogen Karten ist diese Information nicht oder unvollständig vorhanden, teils aus Fahrlässigkeit oder aus strategischen Gründen.
Sind alle Parameter einer Kartenprojektion bekannt, ist eine numerische Umprojektion sehr einfach und entspricht dem Idealfall. Fehlen die Projektionsparameter, so sind Näherungsverfahren anzuwenden. Ist das Kartennetz vorhanden, können Näherungsverfahren verwendet werden, wie z.B. Lagrange- und Spline-Interpolationen [Brandenberger 85].
- 4.3 Datumstransformationen
Eine Datumstransformation überführt die Geometrie von einem Bezugssystem zum nächsten. Es erfolgt eine Berücksichtigung der Lage, Orientierung und Größe der Bezugsellipsoide. Die Parametrisierung von Datumstransformationen erfolgt im räumlich-kartesischen Raum. Die folgenden zwei Verfahren werden dabei verwendet:
räumliche Ähnlichkeitstransformation (Helmert-Transformation, Bursa-Wolf-Methode, 7-Parameter_Transformation;
3 Verschiebungen, 3 Drehungen, 1 Maßstab)
räumliche Translation (Molodensky, 3-Parameter-Transformation; 3 Verschiebungen)Der exakte mathematische Weg der Datumstransformation ist die Umwandlung von ellipsoidischen Koordinaten in räumlich kartesische. Diese kartesischen Koordinaten werden der räumlichen Datumstransformation vom Koordinatensystem mit Nullpunkt O1 ins System mit Nullpunkt O2 unterworfen.
Die Datumstransformation erfolgt anhand der im Raum verteilten Paßpunkte. Diese werden in ellipsoidische Koordinaten umgewandelt (Fall I). Zu beachten ist hierbei, daß die ellipsoidischen Höhen h jeweils von der Lagerung, Form und Orientierung des Ellipsoides abhängen und nicht identisch sind. Die Transformation erfolgt ohne Verlust geometrischer Informationen. Sind die ellipsoidischen Höhen h nicht bekannt, jedoch Gebrauchshöhen H, kann das selbe Verfahren verwendet werden (Fall II). Dabei ist bei den transformierten Höhen Vorsicht geboten. Z.B. würden sich so die Höhen eines mittransformierten Geländemodelles ändern. Im klassischen Fall, d.h. es liegen nur Lageinformationen vor (Fall III), wird die Transformation anhand der Fußpunkte auf dem Ellipsoid, welche in räumliche kartesische Koordinaten transformiert werden, vorgenommen.
(I) P3D(lambdaO1,phiO1,hO1) -> P3D(XO1,YO1,ZO1) -> P3D(XO2,YO2,ZO2) ->
P3D(lambdaO2,phiO2,hO2)wobei hO1 <> hO2
(II) P3D(lambdaO1,phiO1,HO1) -> P3D(XO1,YO1,ZO1) -> P3D(XO2,YO2,ZO2) ->
P3D(lambdaO2,phiO2,HO2)wobei HO1 <> HO2
(III) P3D(lambdaO1,phiO1,0) -> P3D(XO1,YO1,ZO1) -> P3D(XO2,YO2,ZO2) ->
P3D(lambdaO2,phiO2,0)H wird übernommen
Die Bestimmung des geodätischen Datums ist eine hoheitliche Aufgabe, und die exakten Parameter werden in vielen Fällen aus strategischen Gründen nicht veröffentlicht.
Bezugssystem Deutschland/ DHDN1 ehem. DDR militärisch /Nato ETRS89/DREF91 Ellipsoid Bessel Krassowskij International 1909 GRS802 Datum Potsdam Datum83 Rauenberg
System 42/83 Pulkow
Europäisches Datum ED50 ETRF89 Projektion Gauß-Krüger-Koordinaten in 3 ° -breiten Meridian-streifen Gauß-Krüger-Koordinaten in 6 ° -breiten Meridian-streifen UTM in 6 ° -breiten Meridianstreifen
UTM in 6 ° -breiten Meridianstreifen
1 DHDN - Deutsches HauptDreiecksnetz;
2 Geodetic Reference System 80-Ellipsoid; stimmt bis auf Millimeter mit dem WGS-84 -Ellipsoid überein
Tabelle 4: Die geodätischen Bezugssysteme in Deutschland
- Abb.3: Prozesse der
Georeferenzierung zur
Homogenisierung des
Koordinatensystems
- Abb. 4: Georeferenzierung lokaler
Koordinaten
5. Vorschlag für Kartenprojektionen
Die Verwendung von Kartenprojektionen hängt von der jeweiligen Anwendung und den Anforderungen an die geometrischen Verzerrungen ab. Tabelle 2 zeigt eine Auswahl von Kartenprojektionen. In großmaßstäbigen Anwendungen (z.B. Grundbuch, Leitungskataster) und bei mittleren Maßstäben (z.B. topographische Karten) und bei der Navigation werden winkeltreue Kartenprojektionen verwendet. Für kleinmaßstäbige Karten der thematischen Kartographie, werden mehrheitlich äquidistante und flächentreue Projektionen verwendet. Es ist von Vorteil, wenn dabei dieselben (maßstabsabhängigen) Projektionsparameter der amtlichen und internationalen Kartenwerke verwendet werden, um die Übernahme und das Zusammenführen von Geodaten zu vereinfachen. Tabelle 5 zeigt einen Vorschlag für die Verwendung von Kartenprojektionen für unterschiedlicher Maßstäbe.
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Gauß-Krüger-Koordinaten= transversale Mercator
(D, A)
schiefachsige Mercator-Projektion (CH)
Gauß-Krüger-Koordinaten= transversale Mercator
(D, A)
schiefachsige Mercator-Projektion (CH)
Flächentreue Kegelabbildung von Albers
Flächentreue Azimutalabbildung von Lambert
(polare Gebiete)
Flächentreue Kegelabbildung von Albers
Flächentreue Azimutalabbildung von Lambert
(polare Gebiete)
Flächentreue Azimutalabbildung von Lambert 
Eckert (IV, VI)
Hammer-Aitoff
Mollweide
SinusoidalTabelle 5: Vorschlag für Kartenprojektionen [Voser 95b]
6. Datenverwaltung in einem
einheitlichen Bezugssystem
In den Kapiteln 3 und 4 sind die Grundlagen und Transformationsschritte zum Herstellen eines einheitlichen Bezugssystemes zusammenfassend dargestellt. Es ist noch zu klären, in welchen Koordinaten die Lageinformationen verwaltet werden sollen. Da jede Projektion zu Verzerrungen führt, und innerhalb von Kartenwerken unterschiedliche Parametrisierungen und unterschiedliche Projektionen verwendet werden, empfiehlt es sich, alle Geodaten in geographische Koordinaten zu verwalten. Tabelle 6 zeigt eine Gegenüberstellung von Vor- und Nachteilen geographischer Koordinaten.
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weltweit einheitliche Koordinaten
keinen Projektionsstreifen zugehörig 
geogr. Koordinaten sind Ausgangskoordinaten für
jede Kartenprojektion 
metrikunabhängig (Positionsangabe als räumlich
Richtung gegeben) 
unterliegen keiner Kartenprojektion 
"verzerrungsfrei" (keine Projektionsverzerrungen
durch einen Kartennetzentwurf) 
Umrechnung in gewünschte Projektion einfach
automatisierbar 
Darstellungsunabhängig, d.h. keine Ungewissheit,
welche Verzerrungseigenschaften der zugehörigen
Projektion zugrundeliegen 
Anwendungsunabhängig, da keine metrischen
Bedingungen zugrundeliegen
Kenntnis der geodätischen Grundlagen und
Kartenprojektion für jede Datengrundlage erforderlich
Sehr aufwendig Transformation, wenn die
Transformationsparameter nicht bekannt sind 
Erlauben keine direkte Ableitung metrischer Infor
mationen wie Distanzen oder Flächeninhalte 
Bei jeder Betrachtung ist vorher eine Projektion
festzulegen (dies jedoch automatisierbar) 
in geogr. Koordinaten können keine Mindestgrößen
definiert werden; d.h. die Koordinatenwerte sind nicht
direkt interpretierbar Tabelle 6: Vor- und Nachteile geographischer Koordinaten als einheitliche Koordinaten
7. Schlußbetrachtung
Das Zusammenführen von Geodaten unterschiedlicher Herkunft zur gemeinsamen Nutzung verlangt einheitliche geometrische Grundlagen. Die Grundlagen hierfür sind die geodätischen Bezugssysteme. Für die Lageinformation wird als Bezugsfläche ein Rotationsellipsoid mit zugehörigen geodätischen Datum verwendet. Für die Höhe wird als Bezugsfläche das Geoid verwendet. Die Abbildung der Lage vom Ellipsoid in die Ebene erfolgt mit Hilfe unterschiedlicher Kartenprojektionen.
Beim Prozeß der Georeferenzierung sind infolge der unterschiedlichen geometrischen Grundlagen Koordinatentransformationen notwendig. Es sind dies ebene Transformationen zum Einpassen ebener Koordinaten in übergeordnete Koordinatensysteme, geodätische Datumstransformationen sowie Kartenprojektionen zum Umwandeln von ebene Koordinaten in geographische Koordinaten und vice versa.
Referenzen
Brandenberger 85 Brandenberger, Christoph G.; Koordinatentransformation für digitale kartographische Daten mit Lagrange- und Splineinterpolation; Institut für Kartographie, ETH Zürich.
Hake/Grünreich 94 Hake, G.; Grünreich, D.; Kartographie, 7.Auflage, Walter de Gruyter Verlag, Berlin, 1994.
Heck 87 Heck, Bernhard; Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung; Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1987
Snyder 87 Snyder, John P.; Map Projections - A working manual; U.S. Geological Survey Professional Paper 1395; Washington 1987
Torge 75 Torge, Wolfgang; Geodäsie; Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1975.
Voser 95a Voser, Stefan A.; Datenaustausch zwischen Geo-Informationssystemen - Abbildung zwischen zwei Datenmodellen auf konzeptioneller und logischer Ebene; 3. deutsches. Arc/Info-Anwendertreffen, 1995.
Voser 95 b Voser, Stefan A.; Geodätische Bezugssysteme - Teil 1, Geodätische Grundlagen; 1. Zwischenbericht zu "Untersuchung über die Nutzungsmöglichkeiten verschiedener geodätischer Bezugssysteme für Geo-Informationssysteme des Naturschutzes", F+E-Vorhaben 808 01 135, Bundesamt für Naturschutz, Bonn; unveröffentlicht.
Voser 96 Voser, Stefan A.; Geodätische Bezugssysteme - Teil 2, geometrische Transformationen; 2. Zwischenbericht zu "Untersuchung über die Nutzungsmöglichkeiten verschiedener geodätischer Bezugssysteme für Geo-Informationssysteme des Naturschutzes", F+E-Vorhaben 808 01 135, Bundesamt für Naturschutz, Bonn; unveröffentlicht.
MapRef - © by Stefan A. Voser; Last Update: 28. October 2001