Applichiamo il teorema della media a .

     Poiché  è positiva e continua, e C è compatto si ha che il minimo di  è ancora positivo.

 Quindi:

con m>0.

    Dunque:

e, introducendo una particolare notazione .          Per la relazione
.          Questo implica che: , poiché anche F è uniformemente continua (si ripete per essa il discorso fatto per  ) si ha: se .          Posto , possiamo concludere che se , e poiché m>0: se .          La precedente disuguaglianza è valida per ogni valore di l e m.
scelti e  possiamo concludere che cioè se  quindi  è continua.
        Proviamo che le derivate prime di  sono continue, cioè che  con  e perché .

Indichiamo  con  (in altre parole  ). Supposto di considerare solo incrementi per cui rimaniamo nel disco W in cui è definita la  si ha: