Passiamo ora alla dimostrazione.
PASSO 1: poiché 
, le
derivate 
(j=1,…,n) sono continue per cui lo è
anche 
. Poiché per l’ipotesi fatta è
,
in virtù del teorema della permanenza del segno
possiamo dire che esiste un intorno 
del punto a tale che
.
Siccome gli intorni sferici costituiscono una base per lo
spazio topologico En, possiamo scegliere nel
seguente modo:
con 
ove 
e 
sono le
coordinate dei punti a e b rispettivamente.
PASSO 2:
Consideriamo la retta l passante per a e parallela all’asse xn
la cui rappresentazione è: 
e prendiamo due punti A
e B su questa retta tali che 
, 
e 
.
Per giustificare tale posizione
andiamo a considerare la restrizione 
della funzione F
sulla retta l. Poniamo 
. L’espressione analitica
di 
è 
;
è quindi funzione di una variabile.
Osserviamo che 
con 
.
Infatti
.
Quindi 
è positivo in un
intervallo 
che comprende an e tale che
i punti 
e
appartengono a .
In altre parole
cresce in I e
; da ciò
risulta
e
quindi
e
.
PASSO 3: essendo F
continua, dal teorema della permanenza del segno ricaviamo che esistono due
intorni sferici così definiti:
tale che
e 
,
tale che
e 
.
Poniamo
e tracciamo i piani
e
, consideriamo il seguente
intorno di A nel piano
:
.
Essendo 
si ha che 
e quindi 
. Analogamente definiamo
che essendo contenuto in UA è tale che 
.