osserviamo che WA e WB geometricamente sono due dischi di uguale raggio e perpendicolari al segmento congiungente A e B. Consideriamo allora il cilindro
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le cui basi sono WA e WB
rispettivamente e dove si è posto 
.
Notiamo che per costruzione si
ha 
.
PASSO 5:
siamo ora vicini alla
conclusione. Infatti se 
allora x appartiene all’intervallo verticale 
i cui estremi sono 
e 
.
Siccome 
,
se 
, allora la F
cresce lungo questo intervallo. D’altra parte, siccome 
,
risulta 
. Analogamente,
siccome 
, risulta 
.
Per il teorema degli zeri,
la funzione F, ristretta a questo intervallo, si annulla in uno ed un
solo punto. Poiché i punti in cui F si annulla sono per definizione punti
di S, possiamo concludere che ogni intervallo 
interseca S in uno ed un solo punto. Definiamo ora una funzione nel disco
(n-1)-dimensionale 
, 
definita nel seguente modo: sia 
e consideriamo l’intervallo ;
tale intervallo è contenuto C per come è definito
W. Allora, per quanto osservato sopra, interseca S in
uno ed un solo punto x; sia xn l’n-esima
coordinata di tale punto.
Poniamo 
;
è ovviamente ben definita. Siccome il cilindro C è formato da intervalli
verticali del tipo ed
ognuno di questi intervalli comprende solo una soluzione della (1) le cui
coordinate sono 
, ci
accorgiamo che 
si
rappresenta mediante l’equazione 
,
con 
. In altre parole,
l’equazione , con
è equivalente nel cilindro all’equazione (1), nel senso che
.
Resta così provata la prima parte
del teorema; ci rimane da provare che
è di classe Cm. Cominciamo col dimostrare che è
continua. Per farlo sfrutteremo il
Teorema di Cantor generalizzato.
Sia f una funzione
continua su un insieme C compatto, allora f è uniformemente continua.
DIM: Uniforme continuità
di f: 
se 
dove: 
.
Sia e>0,
poiché f è continua in C, si ha, in corrispondenza di
e, 
se 
.
Sia 
un intorno sferico aperto e sia 
.
Ovviamente 
e quindi 
costituisce
un ricoprimento di C costituito da aperti, poiché
C è un compatto esiste un numero finito di aperti di
che ricoprono C.
Posto
,
siano 
: . 
quindi
.
Dunque 
e quindi (1). Inoltre 
(2).
Sfruttando (1), (2) e la
disuguaglianza triangolare, otteniamo: 
. Ricapitolando abbiamo dimostrato che:
se .
C.V.D.