Aggiungendo e sottraendo la stessa quantità:

.

        Applichiamo ad entrambi i termini il teorema di Lagrange che, per funzioni di una variabile si scrive:

con .

        Ragionando sul primo termine notiamo che le prime n-1 coordinate sono uguali e fissate per cui F è funzione solo dell'ultima variabile:

dove  con  (dal momento che  possiamo vederlo come un punto interno al segmento verticale i cui estremi hanno n-esime coordinate uguali a  e  ).

         In modo analogo, sul secondo termine segue:

         Osserviamo che ha senso dividere per  , poiché siamo in C e quindi questa quantità è non nulla.
        In conclusione .          Consideriamo il denominatore:
continua  se . Allora, essendo , . Inoltre è continua, per cui se .          Per quanto riguarda il numeratore, .         Quindi (1).

        Abbiamo così provato che esistono le derivate prime; è ovvio poi che esse sono continue essendo rapporto di funzioni continue tali che la funzione al denominatore non si annulla mai. Passiamo alle derivate seconde nell'ipotesi che sia.
        Poiché esistono le derivate seconde di F e le derivate prime di  e sono continue, il numeratore risulta differenziabile.
Anche il denominatore è, per lo stesso motivo, differenziabile quindi  è differenziabile, per cui esistono tutte le derivate di .  Passiamo al calcolo esplicito:

per la regola di derivazione delle funzioni composte: per la (1),

        Alla fine si trova che il numeratore è una combinazione lineare di derivate prime e seconde di F, mentre il denominatore è una potenza dell'ultima derivata, tutto calcolato in . Poiché tutte le derivate sono continue e tale è anche , si ha che tutte le funzioni composte sono continue e dunque le derivate seconde di   sono continue.
 Poiché un polinomio come quello al numeratore è derivabile ed ammette derivate continue se tali sono le funzioni che compaiono in esso, si può concludere che  è di classe C^m.