Siano dati uno spazio affine En, un aperto
e una funzione 
(F cioè è una funzione reale di n variabili reali). Poiché ogni punto 
viene individuato in modo unico dalle sue coordinate 
, possiamo scrivere 
anziché F(a). Osserviamo che, ovviamente, il valore che F associa ad a non dipende dal particolare sistema di riferimento scelto in En. DEF. Una funzione si dice di classe Cm
se esistono e sono continue le derivate parziali fino all’ordine m-esimo, cioè se esistono e sono continue le seguenti funzioni:
con 
e gli esponenti interi e non negativi i1,…,in tali che i1+…+in=k.
A questo punto enunciamo il
Teorema delle funzioni implicite nella forma ristretta.
Sia F una funzione di classe Cm definita in un aperto U di En e a valori in R e sia S l’insieme dei punti che verificano l’equazione
(1).
Siano 
e i un indice tale che
, allora esiste un intorno C del punto a tale che l’insieme 
si rappresenta mediante l’equazione
(2)
con 
funzione di classe Cm.
OSSERVAZIONE. In altre parole, il teorema ci dice che l’equazione (1) è equivalente alla (2) nell’intorno C. Cioè la (2) rappresenta la forma esplicita della (1) nell’intorno C.
DIM. Possiamo articolare la dimostrazione in 5 passi, premettendo però alcune convenzioni sui simboli che adopereremo.
L’ipotesi 
implica 
oppure 
.
I nostri calcoli saranno svolti nella sola ipotesi 
, senza per questo perdere la generalità. Infatti se 
, prendiamo in considerazione un altro sistema di riferimento dove a ha coordinate 
e dove 
se 
e 
.
In tale sistema di riferimento la (1) si riscrive come
.
Quindi si ha 
il che significa nell’intorno considerato. Abbiamo così ricondotto il caso in cui la derivata i-esima è negativa al caso in cui è positiva. Inoltre, per comodità, possiamo assumere i=n cioè
senza ledere la generalità in quanto basta riordinare le coordinate 
scambiando xi con xn.