Dico subito che questa è una sezione per chi non mastica troppo la matematica, ma neppure la detesta. Vi propongo alcune interessanti e serie dimostrazioni che potete trovare in molti libri di matematica o di fisica:
 | I numeri interi positivi sono tanti quanti i numeri interi positivi
assieme a quelli interi negativi... |
| Esiste unico un numero chiamato "zero" ed indicato con "0" per cui a+0 = 0 + a = a qualunque sia a. |
Altri ancora quando avrò voglia di scriverli: in particolare..
| Cambiando l'ordine degli addendi il risultato cambia a piacere (in somme infinite) |
| Il paradosso dei gemelli, ovvero come un fratello gemello riesca ad avere 10 anni più dell'altro. |
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I numeri positivi sono tanti quanti i numeri positivi e quelli negativi.
I numeri come si dice sono infiniti, cioè sono una quantità che, per definizione, è più grande di ogni altra. In particolare possiamo pensare ad "infinito" come ad un "numero" con la proprietà che ogni altro numero è più piccolo, oppure come ad un numero che non cambia se gli sommiamo un numero finito. In ogni caso per confrontare due insieme infiniti non possiamo "contare" gli elementi di ciascun insieme: dovremo trovare un altro metodo che comunque si riduca a quello solito nel caso di insiemi finiti. Il metodo è quello della ricerca di una corrispondenza biunivoca tra due insieme. Cos'è una corrispondenza? E' molto semplicemente l'associazione di un elemento dell'insieme A ad un elemento dell'insieme B.
Per esempio consideriamo l'insieme di tutte le persone P e l'insieme S = {uomo, donna}. Ad ogni elemento di P si associa un elemento di S. Poichè per ogni elemento di P possiamo determinare chiaramente l'elemento di S, allora questa corrispondenza è definita per tutti gli elementi di P. Una corrispondenza di questo tipo si dice suriettiva.
Altro esempio. Consideriamo ancora l'insieme P e definiamo la funzione (altro modo per chiamare una corrispondenza) "Sposato con" che associa ad un elemento di P l'eventuale moglie/marito (supponendo che sia eventualmente unica/o). Poichè ad ogni elemento w di P corrisponde al più un elemento m, sarà anche vero che noto m possiamo ritrovare w. Un'applicazione (altro modo di chiamare una corrispondenza) di questo tipo si dice iniettiva ed ha la proprietà che dall'insieme di partenza (dominio) troviamo un elemento nell'insieme di arrivo (codominio) e viceversa. L'applicazione precedente non era iniettiva: infatti se a "Tizio" di P corrisponde "uomo" di S, non è vero che a "uomo" di S corrisponde solo "Tizio" di P. Invece l'applicazione "sposato a" non è suriettiva perchè non tutte le persone sono sposate, ovvero preso un elemento di P non è detto che a questo si possa associare un altro elemento.
Una corrispondenza suriettiva ed iniettiva si dice biunivoca. Per esempio la corrispondenza "Codice Fiscale" che ad ogni elemento di P (limitandosi all'Italia) associa il suo codice fiscale è suriettiva (tutti hanno un codice fiscale) e iniettiva (ad ogni persona corrisponde un solo codice fiscale e viceversa). Proprietà importante delle applicazioni biunivoche è questa:
- Se due insiemi A e B finiti possono essere messi in corrispondenza biunivoca allora i due insiemi hanno lo stesso numero di elementi.
Ed infatti esistono tanti codici fiscali differenti quanti sono gli italiani (considerando anche i morti successivi all'introduzione del codice fiscale). Questa proprietà viene estesa sic et simpliciter al caso di insiemi infiniti: due insiemi A e B si dice che hanno la stessa cardinalità (stesso numero di elementi) se esiste almeno una corrispondenza biunivoca tra A e B.
Bene. Proviamo che tra l'insieme dei numeri positivi interi (zero escluso) e quelli sia positivi e negativi esiste una corrispondenza biunivoca. Infatti sia p un numero positivo. Allora:
- se p è pari gli associamo p/2
- se p è dispari gli associamo (1-p)/2
Questa corrispondenza è evidentemente biunivoca (la prova è semplice, ma richiede qualche riga di "matematichese")
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Se esiste un numero chiamato zero ed indicato con '0' per cui a+0 = 0+a = a qualunque sia a, allora è unico.
Disinteressiamoci del fatto che tale numero possa o meno esistere: questo problema è stato risolto in modo brillante dai matematici(!). Supponiamo che esista e che ne esista anche un altro. Indichiamo il secondo con O: vale anche per lui a + O = O + a = a qualunque sia a.
Scegliamo un numero a particolare, cioè proprio zero 0. Si ha 0 + O = 0 per quanto detto sopra. Ma 0 + O = O per la proprietà dello zero. Allora O = 0, cioè lo zero è unico, se esiste. La sua esistenza non è provata, ma asserita come verità indiscutibile della matematica: ci si deve credere e basta!