Problema dei quattro colori

una possibile cartina con undici "stati"

Un problema piuttosto antico: si vuole colorare una cartina geo-politica, ovvero recante le divisioni per Stati, con il minor numero di colori, per cui due stati confinanti non abbiano lo stesso colore. Secondo un asserto piuttosto antico, dimostrato solo recentemente con tecniche tutt'altro che elementari, questo numero minimo nel caso peggiore e' quattro.

Naturalmente dalle cartine reali si passa a quelle fittizie, ovvero ad una divisione del piano qualsiasi. E' molto semplice provare che questo numero e' senz'altro maggiore o uguale a quattro: basta infatti costruire una qualunque cartina che richiede quattro colori al massimo ovviamente (la cartina di sopra non e' una di queste: si puo' colorarla anche con quattro colori). Questo e' in genere piuttosto semplice: ovvero e' semplice dimostrare che quattro colori sono necessari per colorare ogni cartina, ma forse non sufficienti. Per provare che non sarebbero sufficienti si dovrebbe trovare una configurazione che richieda sei colori, ma non e' possibile, poiche' ormai e' stato dimostrato che cinque colori sono anche sufficienti (In pratica n.colori >= 5 semplice; e' stato provato, ed e' la parte difficile che n.colori <= 5 per cui n.colori="5)</p">

Il problema lo si potrebbe naturalmente estendere al caso piu' generico in cui consideriamo n dimensioni: ad esempio se la dimensione e' 1 (rette) saranno necessari e sufficienti due colori, ovviamente.

Abbiamo gia' considerato la dimensione due, per la tre che si risultati ci saranno: esistera' anche in questo caso un numero n per cui si riesce a colorare ogni suddivisione dello spazio? O magari questo numero e' infinito. Se e' infinito il problema finisce qui, (non sarebbe il primo problema che si ferma al due: vedi problema di Fermat), se e' finito sara' in qualche relazione con il due ed il cinque? Sara' una semplice relazione dipendente da n come 4^(n-1) + 1? Ovvero 2, 5, 17,.. E' improbabile: come ben sapete dati n numeri esistono sempre infinite successioni, esprimibili in forma elementare, che iniziano con quei valori (se questo vi stupisce allora leggetevi una digressione a tal proposito)

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La mia successione e' piu' logica della tua...

Come continueresti: 0,1,1,2,3,5,... Riflettete un attimo e rispondete 8, dicendo che e' la classica successione di Fibonacci. Un matematico invece avrebbe senz'altro risposto 2, o forse 21, o anche la vostra eta' a cui aggiungete il quadrato della terza cifra dell'anno in cui e' nato vostro padre e questo senza sbagliare, naturalmente.

Infatti dati n+1 nodi distinti esiste unico un polinomio di grado n che attraversa quei nodi -> dati n nodi esistono infiniti polinomi di grado n che attraversano quei nodi.

Per esempio la successione 1,2,3,4,5, puo' continuare con 6, ma anche per esempio con 14 (nel primo caso e' la successione n, nell'altro n^5/15 - n^4 +(17/3)n^3 - 15n^2 + (289/15)n - 8, cioe' sostuendo ad n i valori 1, 2,3,4,5,6,... si ottiene dalla prima gli stessi, dalla seconda 1,2,3,4,5,14,...).
Quindi se vi chiedono come continuare una successione potete sempre rispondere con centotredici (o con duemilatrecentoventisette, un numero qualunque va sempre bene: potete sceglierlo una volta per tutte, io per esempio uso la mia eta'.
Non crediate infine che la vostra risposta sia "meno logica" anzi in genere e' molto migliore. Se per esempio la successione e' 1,2,3,5,7,11,13,17,... e voi la continuate con 21 avete dato una risposta migliore: infatti della vostra successione sapete dare un'espressione elementare, della successione dei numeri primi non si puo', quindi della successione 1,2,3,....,17,21 sapete quale e' il k-esimo elemento, di quella dei numeri primi e' impossibile!!!. Spesso infatti i vostri amici hanno in mente successione davvero astruse, quella ottenuta dai polinomi interpolanti invece e' semplicissima: basta fare un po' di conti davvero banali (si usano infatti solo le quattro operazioni). Quindi poiche' voi sapete scrivere la successione che per n= 1, 2,..., k assume gli stessi valori della loro, non potranno mai dirvi che e' sbagliata.

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