HISTORIA DE LA GEOMETRÍA A TRAVÉS DEL TIEMPO
Un día estaba haciendo una tarea de
matemáticas que me hacía la vida imposible. Se trataba de investigar sobre la geometría,
pero no encontraba nada. De repente, noté una presencia muy extraña que no
dejaba concentrarme; escuché atentamente cada ruido que había en mi cuarto, y
todo normal. Mi computadora encendida, sólo el teclear de mis manos y el lector
de pantalla hablando. Entonces ¿Qué podría ser? En eso estaba cuando algo se
acercó a mi y me jaló el cabello. ¿Hola...? ¿Hay alguien ahí...? Dije muy
asustada. De repente, una voz me susurra al oído: ¡Hola! ¿Quieres saber quién
soy? Quizá pueda ayudarte. ¿Con qué? Pregunté. Quién sabe, tal vez tengas un
problema, no sé... algo relacionado con la geometría, ¿O me equivoco? Me
contestó y se acercó para que yo le observara con las manos. Al tocar, me di
cuenta de que era un círculo. ¿Quieres que te cuente la historia de la
geometría? Me preguntó. A ver: Primero, presentémonos. Yo me llamo Luz, ¿Y tú?
Dije entusiasmada. Me llamo Dora y soy un círculo, ¿Te fijas? Me dijo. ¡Si,
claro! De hecho necesito tu ayuda, porque tengo qué encontrar algo sobre
geometría. Le contesté sorprendida por lo que escuchaba. ¿Lo ves? Sabía que era
por ahí. Sonrió. Deja que te cuente la historia de la geometría, pero te
recomiendo que mientras escuches la historia, eches a volar tu imaginación,
porque nos vamos a encontrar con personajes muy importantes, ¿Te parece? Me
dijo. ¡Perfecto! Te escucho. Le contesté.
Fíjate, me dijo. Comenzaré por decirte que según cuentan, los
primeros orígenes de la geometría se encuentran en los mismos orígenes de la
humanidad. Se aclaró la garganta y continuó: El hombre primitivo clasificaba,
aún inconscientemente los objetos según la forma que tenían. Así comienza el
primer acercamiento intuitivo a la geometría, ¿Entiendes hasta aquí? Preguntó.
Yo estaba todavía asombrada, y pude decir: Claro, entiendo. Imagínate, me
contestó. Desde que se creó la tierra había geometría.
Como iba diciendo. Prosiguió. Las primeras civilizaciones
mediterráneas fueron adquiriendo conocimientos geométricos de carácter
práctico. Quedé con la boca abierta de asombro. ¡Interesante! ¿Cierto? Me
respondió. Otra cosa que te quiero decir, siguió: Es que según las hipótesis
que hay por ahí, los egipcios tenían una alta formación matemática y un acervo
de conocimientos secretos que se perdieron con el paso del tiempo, pero no se
han confirmado. En ese momento me encontraba concentrada en lo que me contaba.
Como todas las hipótesis que se han hecho, ¿Verdad? Dije pensativa. Así es, me
respondió. Bueno... el conocimiento que esa civilización tenía sobre la
geometría, pasó íntegramente a la cultura griega, a través de Tales de Mileto,
los pitagóricos y de Euclides... por cierto, ¿Has escuchado hablar de Tales de
Mileto? Me dijo de pronto. Sí, contesté. Según me dijo el profesor de
matemáticas, este personaje fue capaz de medir la pirámide de Keops y predijo
un eclipse solar. Efectivamente, me contestó esta fantástica figura, mientras
yo me sorprendía más.
¿Quieres saber más? Preguntó Dora. Claro que sí, respondí. ¿Sabías
que la geometría griega fue la primera en ser formal, parte de los conocimientos
de las civilizaciones mesopotámica y egipcia y da un paso de abstracción al
considerar los objetos como entes ideales? Me preguntó. No, la verdad no,
contesté un poco avergonzada. Escucha. Prosiguió: Podemos tomar ejemplos como
un cuadrado, en lugar de una pared cuadrada; o un círculo, como yo, en lugar
del ojo de un pozo, etc. Estos pueden ser manipulados por medio de la mente,
con un compás y una regla. Obviamente que me imaginaba todos esos objetos, y me
parecía cada vez más interesante lo que me estaba diciendo. Seguí escuchando la
historia atentamente, sin interrumpirle, mientras imaginaba los acontecimientos
que Dora describía.
La figura de Pitágoras y de la secta (Los pitagóricos) tiene un
papel central, eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de
número de forma más explícita; siempre ha estado dentro de la matemática y la
física. Esta actitud permitió la medición del radio de la tierra por
Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de
la palanca por Arquímedes, varios siglos después. En el seno de la secta de los
pitagóricos surgió la primera crisis de la matemática, pero ésta fue de
carácter más aritmético que geométrico.
Euclides, (Otro personaje), vinculado al Museo de Alejandría y a
su Biblioteca, zanjó una cuestión al proponer un sistema de estudio en el que
se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente
claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza
en su obra cumbre, "Los Elementos", modelo de sistema
axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que
precisa, construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el
momento. Su obra, en 13 volúmenes, perduró como única verdad geométrica hasta
principios del siglo XIX.
Euclides casi cerró definitivamente la Geometría griega - y por
extensión la del mundo antiguo y medieval-, a excepción de las figuras de
Arquímedes y Apolonio. Arquímedes estudió ampliamente las secciones cónicas,
introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni
circunferencias, aparte del cálculo del volumen de la esfera, basado en los del
cilindro y el cono, mientras que Apolonio trabajó en varias construcciones de
tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.
En la antigüedad hubo tres problemas, ¿Quieres saber cuáles son?
Me preguntó. Asentí con la cabeza y siguió con el relato. La Geometría griega
ha sido incapaz de resolver tres famosos problemas que heredaron los matemáticos
posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser resueltos
utilizando únicamente la regla y el compás, únicos instrumentos (además del
papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la Geometría de Euclides. Estos
problemas son: La duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la
cuadratura del círculo, cosa que todavía no puedo creer, obviamente porque yo
soy un círculo y este último problema... mejor te lo digo cuando llegue a él.
Bueno, te contaré el primer problema:
Cuenta la leyenda que había una terrible peste en la ciudad de Atenas, hasta el
punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al
oráculo de Delos, consagrado a Apolo (en ciertas fuentes aparece el oráculo de
Delfos, en lugar del de Delos, también consagrado a Apolo), para consultar qué
se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo,
la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla
de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los
atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del
altar de Delos, pero la peste no cesó, sino que se volvió más mortífera.
Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era
el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el
cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3). Nadie supo cómo construir un cubo
exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático
persistió durante siglos (pero la enfermedad no).
Ahora va el segundo que ya sabemos cuál es: Este problema consiste
en dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales, empleando únicamente
la regla y el compás, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres
ángulos sea exactamente la medida del primero. Dadas las condiciones nadie ha
logrado hacerlo.
Te contaré el tercer y último problema, que es el que más me
molesta. Escucha y sabrás porqué: La cuadratura del círculo consiste en tratar
de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya área mide exactamente lo mismo
que el área del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo,
dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por explicar
diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco pudo ser
resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo
imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David Hume llegó a escribir un
libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía
conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos sus métodos
fallaban. ¡Qué necio! Dije al escuchar el problema. Pero sígueme contando, por
favor. Bueno, dijo. Escucha con atención.
Durante los siguientes siglos la Matemática
comenzó nuevos caminos (Álgebra y Trigonometría) de la mano de indios y árabes,
y la Geometría apenas tuvo nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de
carácter más bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que la Geometría fue una
de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en el Quadrivium), las
escuelas y universidades se limitaron a enseñar "Los Elementos", y no
hubo muchas aportaciones.
En el Renacimiento, las nuevas necesidades de representación del
arte y de la técnica empujaron a ciertos humanistas a estudiar propiedades
geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitieran representar la
realidad. Éstos fueron: Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone
Battista Alberti, Piero della Francesca, entre otros. Todos ellos, al descubrir
la perspectiva y la sección, crearon la necesidad de sentar las bases formales
en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la
Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de
Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría fue estudiada ampliamente por
Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría
Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la
llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre
todo de Poncelet.
Ahora te hablaré de la geometría cartesiana: La aparición de esta
geometría marcó la Geometría en la Edad Moderna. René Descartes propuso un
nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar
en Geometría.
Este método se basa en la siguiente construcción: en un plano se
trazan dos rectas perpendiculares (ejes) que por convenio se trazan de manera
que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano
queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de
los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué
semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia,
criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas,
queda representado por un par ordenado (X,Y), siendo X la distancia a uno de
los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e Y la distancia al
otro eje (al horizontal).
En la coordenada X, el signo positivo (que suele omitirse)
significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de
ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se
toma hacia la izquierda. Para la coordenada Y, el signo positivo (también se
suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal
(eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se
omite nunca en este caso). A la coordenada X se la suele denominar abscisa del
punto, mientras que a la Y se la denomina ordenada del punto. ¿Ya te lo
imaginaste?
De repente, tracé con mi dedo índice lo que me estaba imaginando.
¿Lo hice bien? Pregunté. ¡Lo has hecho genial! Me contestó sonriendo.
Sin embargo, mi querida amiga, el método
original de Descartes no es exactamente el que se acaba de explicar. Descartes
utilizó solamente el eje de abscisas, calculando el valor de la segunda
componente del punto (X,Y) mediante la ecuación de la curva, dándole valores a
la magnitud X. Por otro lado, Descartes sólo consideraba valores positivos de
las cantidades X e Y, dado que en la época aún resultaban
"sospechosos" los números negativos. Como consecuencia, en sus
estudios existen ciertas anomalías y aparecen curvas sesgadas. Con el tiempo se
aceptaron las modificaciones que muestran el método tal y como lo conocemos hoy
en día, ¿Cómo la ves? Desde luego que estaba muda de asombro por todo lo que
estaba aprendiendo, así que no pude decir nada. Al ver que no había contestado,
el círculo me dijo: Veo que estás asombrada, muchacha; yo entiendo. Te cuento
todo esto porque hay bastantes estudiantes a los que no les interesan estas
cosas. Y si no encontraste nada de información, es porque un chistosito la
esconde para que nadie pueda acceder a ella. ¿Y quién es ese chistosito?
Pregunté con mucha curiosidad. Es un compañero tuyo. ¿Qué? Sí, un estudiante
envidioso y flojo que como no sabe nada de matemáticas y no le gustan, trata de
evitar que los demás encuentren lo que buscan relacionado a estos temas, y no
quiere entender que todo esto de la geometría es sumamente interesante. Me
llené de tristeza al escuchar esto. Anímate, me dijo. Lo bueno es que tú puedes
dar a conocer todo esto en tu clase de matemáticas, ¿No crees? Tienes razón, le
contesté. Bueno, ¿Y ahora qué más? ¿Todavía quieres que te cuente más? ¿Pues no
que se te hacían pesadas las matemáticas? Me preguntó y sonrió. Bueno, está
bien, sigamos.
La aparición de la Geometría Analítica trajo consigo una nueva
forma de entender la Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituye al
antiguo, el sintético, consistente en establecer unos axiomas y unas
definiciones y deducir de ellos los teoremas.
El método sintético a estas alturas
estaba casi agotado (aunque aún daba algunos resultados interesantes, como la
característica de Euler, la naturaleza de estos resultados no fue ya tanto
geométrica como topológica, y los resultados realmente importantes que se
hicieron en adelante en el campo de la Geometría vinieron de la mano de métodos
algebraicos o diferenciales), dio paso al método algebraico: estudio de los
objetos geométricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones
polinómicas, o mejor dicho, del conjunto de raíces de polinomios. El método
sintético sólo volvió a abordarse cuando aparecieron las geometrías no
euclídeas, y definitivamente dejó de ser un instrumento de investigación
geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de
instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una
disciplina cerrada.
El método algebraico se vio posibilitado por un avance en Álgebra
hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º.
Esto permitió generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por
polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás,
además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro. Pero este método
que terminó constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardó
hasta el siglo XX en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente
inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón es la imposibilidad de
resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta
el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra
Conmutativa.
Isaac Barrow gracias a la Geometría Analítica, descubrió la
relación entre la tangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos
y los ejes coordenados en la Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz
dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el
Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los
orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los
instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran
medida su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento,
Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva
y de función de una variable (o si se quiere, de curva y los ceros de una
función de dos variables). El primero en empezar a intuir la diferencia y en
ampliar este tipo de estudios a las superficies (como función de dos variables
o como el conjunto de los ceros de una función de tres variables) Fue Euler. El
trabajo de Monge continúa por esta línea.
Te hablaré de otro personaje que lleva por nombre, Carl Friedrich
Gauss.
Gauss devolvió el carácter geométrico
que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos
contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría
Diferencial.
Pero no son las únicas contribuciones de éste genio al campo de la
Geometría, amiguita. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la
Filología o a la Matemática. A los 17 descubrió la manera de construir el
polígono regular de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un
polígono regular pueda construirse. Esto determinó su vocación.
En su primera demostración del Teorema
Fundamental del Álgebra (de cinco que realizó en su carrera) sentó las bases
del Análisis de Variable Compleja, usando la interpretación geométrica de los
números complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que fue
introducido mucho más tarde).
Por
cierto, se atribuye a Gauss la paternidad de esta idea. Primero Wessel y luego
Argand se le anticiparon, pero nadie conocía los estudios de ambos. Aunque no
es propiamente obra suya, pues la Variable Compleja está desarrollada
fundamentalmente por Cauchy, sí fue el primero en abordarla seriamente, y sobre
todo le dio una interpretación geométrica que marcó el desarrollo de esta rama.
La principal contribución de Gauss a la Geometría fue la creación
de la Geometría Diferencial, retomando las ideas sobre las relaciones entre el
Análisis Matemático y la Geometría que había hasta entonces y desarrollándolas
ampliamente. Partiendo de la base de que la Geometría estudia el espacio, las
curvas y las superficies, estableció la noción fundamental de curvatura de una
superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si
consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos
puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una
superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la
superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la
superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los
triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos
rectos, y otras en las que mide menos.
Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad
de crear geometrías no euclídeas, pero aunque a esas alturas ya era el
matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mentalidad de la época
no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos
resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclídea,
y comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado. Por un
lado, Gauss fue el primero en crear una geometría no euclídea, y por otro fue
el creador de la Geometría Diferencial y precursor de la Variable Compleja.
Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la
Geometría que es la orientación.
Te voy a contar algo sobre La trisección del ángulo y la
duplicación del cubo. ¿Te suena eso? Me preguntó. Me quedé pensando unos
segundos y exclamé: ¡Claro! Dos de los tres problemas. ¡Genial! Dijo sonriente.
Pues bien, ahí va.
Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dio como resultado la
resolución de estos dos problemas. Galois murió a los 21 años de edad dejando
un "testamento" lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas
se encuentran las bases de la Teoría de Grupos y de la Teoría de Galois. Galois
resolvió el problema de encontrar una fórmula para solucionar las ecuaciones de
5º grado, pero este resultado no llegó a ser publicado en su corta vida.
Concluyó que una ecuación de grado 5 o mayor puede ser no resoluble por
radicales (es decir, mediante una fórmula con un número finito de operaciones
algebraicas). Su manera de abordar el problema abrió una nueva vía dentro de la
Matemática. Pero la Teoría de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre
cuándo es posible resolver una ecuación polinómica, estudiando el conjunto de
números en los que se expresa esa ecuación) no da sólo esos frutos. También
demuestra que todo lo construible con regla y compás tiene una traducción a
polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ángulo o duplicar un cubo
necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible
con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o
duplicar un cubo.
¿Qué crees? Te contaré mi parte favorita: La solución del problema
de la cuadratura del círculo.
En 1862, Lindemann demostró que el número π es trascendente,
es decir, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Esto
implica que no es un número que pueda construirse con regla y compás, y
demuestra que no es posible construir con sólo estos instrumentos un cuadrado
de área igual a la de un círculo dado. ¡Genial! Exclamé.
Ahora Luz, escucha con atención porque
te voy a hablar un poco de Bernhard Riemann.
El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann dio una conferencia en la
Universidad de Gotinga para completar su habilitación (grado que le permitiría
optar a una plaza de profesor universitario). El tema de la conferencia fue la
Geometría, a elección de Gauss, su protector y antiguo profesor durante la
licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyo título fue Über die
Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis que
están en los fundamentos de la geometría), pasó por ser una de las más
celebradas de la historia de la Matemática, y uno de los mayores logros
científicos de la humanidad. De entre los presentes se dice que sólo Gauss fue
capaz de comprender su contenido, y lo que se me hace curioso es que le
entusiasmó.
En la primera parte de la conferencia, Riemann se preguntó qué
problema hay en aumentar el número de dimensiones del espacio. Riemann, usando
un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introdujo primero el concepto
de variedad diferenciable, generalización del concepto de superficie a
cualquier número (entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, el
nombre variedad hace referencia a las varias coordenadas que variarían para ir
obteniendo los puntos del objeto. Las superficies serían las variedades de
dimensión 2, mientras que las curvas serían las variedades de dimensión 1, y
aún los puntos las de dimensión 0.
De todas formas, esta aproximación al concepto es demasiado
imprecisa, pues el punto clave de la definición formal de una variedad
diferenciable (definición no expuesta correctamente hasta 1913 por Hermann
Weyl) es que esto es cierto localmente, es decir, cada punto de la variedad
tiene algún entorno homeomorfo a un abierto del espacio euclídeo \mathbb{R}^n,
de manera que cuando el inverso de uno de estos homeomorfismos se compone con
otro de estos homeomorfismo se obtiene una función diferenciable de un abierto
de \mathbb{R}^n en otro abierto de \mathbb{R}^n. Pero como te digo hicieron
falta casi 60 años para que la definición terminara de cuajar.
El punto culminante de la primera parte de la conferencia llegó cuando
Riemann, utilizando las geodésicas, define el tensor curvatura seccional, que
es la generalización a variedades del concepto de curvatura estudiado por
Gauss. Este instrumento permite "medir la curvatura" de una variedad.
En la segunda parte de la conferencia, Riemann se preguntó por el
modelo que debe de seguir el espacio físico, el espacio en el que nos movemos,
cuál es su dimensión, cuál es su geometría.
Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas
para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo
tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear
la Teoría de la Relatividad. El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometría
considera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio
tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad
diferenciable, y que al introducir en ella una métrica se está determinando la
geometría que gobierna ese objeto.
Cuando las ideas de Riemann consiguieron extenderse, la Geometría
pasó definitivamente a ser el estudio de las variedades, dejando de ser
definitivamente el estudio de triángulos, circunferencias, polígonos, etc. Los
puntos básicos de la conferencia de Riemann fueron, por un lado, la posibilidad
de aumentar indefinidamente el número de dimensiones del espacio (el Álgebra y
el Análisis están ya creando la maquinaria necesaria para poder operar en
dimensión finita arbitraria, con lo que definitivamente se podrá estudiar
Geometría más allá de su visualización gráfica), es decir, de estudiar espacios
de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los geómetras de un
instrumento, el tensor curvatura, que les permite estudiar las propiedades
intrínsecas de esos nuevos objetos, esos nuevos espacios, las variedades.
Fíjate que hubo otro personaje que se llamó Felix Klein, quien fue
la otra gran pieza clave de la Geometría en el siglo XIX. En 1871 descubrió que
la geometría euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos
particulares de la geometría de una superficie proyectiva con una sección
cónica adjunta. Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometría
euclidiana y las no euclidianas podían considerarse como casos particulares de
la geometría proyectiva (o mejor dicho, de la geometría de una superficie en un
espacio proyectivo). La segunda, que la geometría euclidiana es consistente (es
decir, no puede llevar a contradicciones) si y sólo si lo son las geometrías no
euclidianas.
La aportación más importante de Klein a la Geometría es su famoso
Programa de Erlangen, donde da una nueva definición de Geometría. Con motivo de
su ingreso como profesor en la Facultad de Filosofía y al Senado de la
Universidad de Erlangen, Klein escribió una memoria en 1872 (que por cierto no
llegó a leer en público) que puede considerarse, junto a la Conferencia de
Riemann y a los Elementos de Euclides, como los puntos esenciales del estudio
de la Geometría. La idea de la memoria, conocida como el Programa de Erlangen,
es bastante sencilla. Se trata de dar una definición formal de lo que es una
geometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.
Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidianas, parece
lógico preguntarse qué es la Geometría, máxime cuando la propia idea de la
geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de los
métodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que la Geometría
sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el
propio Análisis Matemático (sobre todo en el estudio de Ecuaciones
Diferenciales) parece que también estudia tales objetos. Por otra parte, los
métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las geometrías no
euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las
geometrías no euclidianas y la geometría euclidiana, por otro lado, la
distinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico.
¿Pero entonces, qué es la geometría? Le
pregunté. En este momento lo descubrirás, dijo con seguridad.
Klein dio respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometría
un nuevo concepto de carácter algebraico: el concepto de grupo. Un grupo es un
conjunto G en el que hay definida una operación, es decir, una aplicación G
\times G \longrightarrow G que a cada par de elementos del conjunto le asigna
otro elemento del conjunto (que será el resultado de operar dichos dos
elementos). Mientras que la mayoría de la gente está familiarizada con las
operaciones numéricas, les resulta difícil imaginar que puedan operarse puntos,
rectas, etc. Puede hacerse, y no hay más que pensar en, por ejemplo, la
operación "tomar el punto medio", que a cada par de puntos le asigna
el punto medio del segmento que une los dos primeros puntos. Para que un
conjunto en el que haya una operación sea un grupo deben de cumplirse ciertas
condiciones, que son:
1. La operación debe ser asociativa:
esto quiere decir que si tomamos cualesquiera tres elementos a,b,c del
conjunto, el resultado de operar los dos primeros (a y b) y operar el resultado
de ello con el tercero (c) debe de ser lo mismo que si primero operamos el
segundo y el tercero (b y c) y el resultado lo operamos con el primero (a). Es
decir, si la operación la denotamos por \star ha de ocurrir que a \star (b
\star c) debe de ser lo mismo que (a \star b) \star c.
2. Debe existir un elemento neutro: esto
quiere decir que ha de haber un elemento e del conjunto de manera que si tomo
cualquier otro elemento a del conjunto y lo opero con él, entonces el resultado
vuelve a ser el elemento a, es decir, es como si al elemento a no lo hubiera
operado. Así, con nuestra notación, e \star a = a y a \star e = a.
3. Por último, cada elemento debe tener
un elemento simétrico: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquiera
a del conjunto, entonces puedo encontrar otro elemento \hat{a} del conjunto de
tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el elemento neutro:
a \star \hat{a} = \hat{a} \star a = e.
Klein define soterradamente una geometría como dar el subgrupo de
las biyecciones de un conjunto en sí mismo que uno admitirá como grupo
principal. Los conceptos o definiciones serán los invariantes por ese grupo
principal, y los teoremas serán las relaciones entre los conceptos.
Klein descubrió que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el
estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como
las simetrías, giros y traslaciones), que la geometría afín es el estudio de
los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometría
proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las
proyectividades, e incluso que la Topología es el estudio de los invariantes
mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre
otras.
El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado
permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una
"subgeometría" de cual, por otro lado permite comprender qué es el estudio
general de la Geometría (como disciplina matemática) y por último, pero no
menos importante, es la confirmación de que los métodos sintético y algebraico
no dan geometrías distintas, sino que realmente estudian la misma geometría en
cada caso. Así se puso fin a la distinción entre el método sintético y el
algebraico-analítico. En su época supuso la consagración de la Geometría
Proyectiva como la Reina de las Geometrías.
¡Terminamos! Exclamó de pronto. ¡Qué
interesante! Contesté emocionada. ¿Te gustó la historia? ¿O te aburrió? Me
preguntó. ¡De verdad que me encantó! Es muy interesante esto de la geometría.
¡Muchas gracias por ayudarme, Dora! Respondí casi llorando de alegría. No hay
de qué, amiga. Ya sabes, si necesitas ayuda, sólo llámame con el pensamiento, y
aquí estaré para lo que necesites. Se despidió y me dejó una esfera como
recuerdo. Ahora estoy aquí volviendo a la realidad, y he llegado a la
conclusión de que es la primera vez que una ciencia (la Geometría) es capaz de
autodefinirse rigurosamente y por lo tanto, constituye uno de los puntos
culminantes del espíritu humano en la historia. Fin.
Autora: Luz del Carmen León Wido.
Mexicali, Baja California. México.