Die Lösung der globalen partiellen Differentialgleichung kann sehr leicht parallel gefunden werden, sobald ihre zugehörigen Randbedingungen auf den künstlichen Rändern zwischen den Subgebieten bekannt sind. CGBI ermittelt diese Randbedingungen vom Neumannschen Typ ('natürliche Randbedingungen') mittels einer CG (conjugate gradient)-Iteration. Die Iteration selbst sowie die in Kapitel 3 konstruierten Vorkonditionierer arbeiten nur auf den Rändern der Subgebiete; daher der Name 'boundary iteration'. In jedem CG-Schritt muss in jedem Subgebiet jeweils ein lokales Problem, das von den übrigen lokalen Problemen unabhängig ist, gelöst werden.
CGBI ermöglicht die Kopplung verschiedener lokaler Löser, die auf den verschiedenen Teilen des Rechengebietes arbeiten, auch unter Verwendung nicht-konformer Gitter. So können auf kompliziert geformten Teilen des Rechengebietes Finite Elemente (FE) Löser zum Einsatz kommen, wohingegen auf rechteckigen Subgebieten hocheffiziente Tschebyschev-Spektrallöser verwendet werden.
Als Anwendung von CGBI wird in Kapitel 5 ein paralleler Navier-Stokes-Löser konstruiert. Dieser zerlegt jeden Zeitschritt mit Hilfe der Druck-Korrekturmethode von Temam/Chorin in elliptische und ein hyperbolisches Problem. Die elliptischen Probleme (Poisson-Gleichung für den Druck, Helmholtz-Resolventengleichung für die Geschwindigkeitskomponenten) werden mittels CGBI, das hyperbolische durch ein Charakteristiken-Verfahren gelöst.
In Kapitel 2 wird der theoretische Hintergrund der CGBI-Methode dargestellt. Dabei wurde besonderen Wert auf die konsequente Verwendung der schwachen Formulierungen von Randwertproblemen gelegt, denn nur in dieser Formulierung sind die auftretenden Probleme tatsächlich lösbar. Ferner macht die Verwendung der schwachen Formulierungen deutlich, in welchen Funktionenräumen nach Lösungen gesucht werden muss, und sie zeigt auf, auf welche Weise effiziente Vorkonditionierer zu konstruieren sind (Kap. 2.2). Es stellt sich heraus, dass Diskretisierungen der Wurzel des negativen Laplace-Operators als Vorkonditionierer geeignet sind.
Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Konstruktion solcher Vorkonditionierer. Ausgangspunkt ist immer der exakte vorzukonditionierende Operator, zu dessen Inversen mit Hilfe von Eigenvektorbasen ein spektral äquivalenter Vorkonditionierer gesucht wird. Anschließend wird dieser diskretisiert. Falls die künstlichen Ränder, die bei der Gebietszerlegung auftreten, ein äquidistantes Gitternetz aufweisen, so ist diese Diskretisierung des Vorkonditionierers sehr leicht. Es kann gezeigt werden, dass die resultierende Konditionszahl bei Gebietszerlegungen ohne 'innere Kreuzungspunkte' unabhängig von der Anzahl der Subgebiete und vom Diskretisierungsparameter ist. Bei Verwendung einer vereinfachten Geometrie können explizite Schranken für die Konditionszahl angegeben werden.
Der Tschebyschev-Spektrallöser verwendet allerdings kein äquidistantes, sondern ein Gauß-Lobatto-Gitter. Mittels der Interpolationstheorie gewichteter Sobolev-Räume wird der Gauß-Lobatto-Fall auf den äquidistanten Fall zurückgeführt (Kap. 3.1.3). Der Nachweis, dass der resultierende Gauß-Lobatto-Vorkonditionierer Konditionszahlen unabhängig vom Diskretisierungsparameter erzeugt, gelingt allerdings nur für den Fall von Dirichlet-Randdaten. Nichtsdestotrotz wurde durchweg, sofern das Seitenverhältnis der Subgebiete nicht zu schlecht ist, eine Fehlerreduktion von etwa einer vollen Zehnerpotenz pro CGBI-Schritt beobachtet. Der Aufwand der Vorkonditionierung ist, verglichen mit dem der lokalen Löser, vernachlässigbar gering.
Alternative Vorkonditionierer, basierend auf Bandmatrizen, oder, um das Problem der Abhängigkeit der Konditionszahl vom Seitenverhältnis der Subgebiete zu lösen, basierend auf Faltungskernen, werden in Kap. 3.3 und 3.4 vorgestellt und untersucht.
CGBI wird verschiedensten numerischen Tests unterzogen, die auch die Kopplung verschiedener lokaler Löser (FDM-Spektrallöser, FEM-Spektrallöser) auf verschiedenen Gittern einschließen. Diese Tests belegen, dass CGBI ein robustes Verfahren zur effizienten Lösung elliptischer Probleme darstellt.
CGBI hat große ähnlichkeit zu dem seit den frühen 90ern entwickelten FETI-Verfahren von Farhat/Roux (Kap. 2.9); beide nutzen natürliche Randbedingungen an den künstlichen Rändern. Ein wesentlicher Unterschied ist, dass unser Verfahren Vorkonditionierer benutzt, die ausschließlich auf den Rändern agieren und vernachlässigbar wenig Rechenzeit benötigen, wohingegen die FETI-Vorkonditionierer zusätzliche Probleme auf den Subgebieten lösen, was den Rechenaufwand pro Iteration etwa verdoppelt. Ein detaillierter Vergleich der Effizienz von CGBI und FETI kann jedoch erst dann erfolgen, wenn CGBI auf den Fall innerer Kreuzungspunkte ausgedehnt ist. Die wesentliche Frage ist, ob in diesem Fall die Unabhängigkeit der Kondition vom Diskretisierungsparameter und von Anzahl und Größe der Subgebiete erhalten bleibt. Bei FETI jedenfalls ergibt sich eine logarithmische Abhängigkeit der Konditionszahl von der Größe der lokalen Probleme.
Um das beim Navier-Stokes-Löser auftretende hyperbolische Problem zu lösen, wurde ein Charakteristiken-Verfahren höherer Ordnung programmiert und theoretisch untersucht. Dieses Verfahren basiert auf der Berechnung von Charakteristiken startend an den Gitterpunkten. Die dabei nötige Auswertung des Stömungsfeldes geschieht mit polynomieller Interpolation in der Zeit und stückweise polynomieller Interpolation im Raum. Diese Methode benötigt nicht das Auflösen globaler Gleichungssysteme und ist u.a. deshalb leicht zu parallelisieren. Es werden Fehlerabschätzungen und Stabilitätskriterien hergeleitet. Während die Stabilität bei Verwendung linearer räumlicher Interpolation trivialerweise immer gegeben ist, ist ihr Nachweis bei Verwendung höherer räumlicher Interpolation an Bedingungen gebunden. Auf äquidistanten Gittern reicht die Beschränktheit der Courant-Zahl. Das gleiche gilt für quasi-uniforme Gitter. Auf Gauß-Lobatto-Gittern hingegen kann die Stabilität nur unter starken Einschränkungen an die Zeitschrittweite gezeigt werden. Numerische Tests hingegen zeigen auch auf diesen Gittern keinerlei Stabilitätsprobleme.
Das letzte Kapitel dokumentiert einige Rechnungen des vollen 2d-Navier-Stokes-Lösers. Als Testprobleme dienen die Kanalstömung über eine Stufe ('backward facing step') sowie die Kanalströmung hinter einem zylinderförmigen Hindernis (Ausbildung einer Kàrmànschen Wirbelstraße). Neben einer grafischen Darstellung der resultierenden Strömungen werden die Länge des Rückströmbereichs (im Fall der ersten Rechengeometrie) und die Strouhal-Zahl (im Fall der zweiten Rechengeometrie) ermittelt und mit Werten aus der Literatur verglichen.