Zusammenfassung meiner Diplomarbeit:
Approximationen der Navier-Stokes-Gleichungen mit finiten Differenzen

Meine Arbeit untersucht finite Differenzen Methoden zur Lösung der inkompreßiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

Zunächst wird die Existenz (im 2- bis 4-dimensionalen Fall) und die Eindeutigkeit (im 2-dimensionalen Fall) einer schwachen Lösung gezeigt. Dabei folge ich der Vorgehensweise von R. Temam. Der Existenzbeweis beruht auf dem Galerkin-Verfahren.

Dann wende ich mich der Approximation der Navier-Stokes-Gleichungen zu. Dies geschieht im Rahmen der Theorie der externen Approximationen eines normierten Vektorraums.

Es wird ein (sehr allgemein gehaltenes) Approximationsschema vorgestellt, und es wird ein Stabilitätsbeweis und ein Konvergenzbeweis für dieses Schema geführt. Dies geschieht wieder analog zu R. Temam; ich komme allerdings mit schwächeren Stabilitätsbedingungen aus. Die Beweise beruhen nicht auf der Verwendung einer speziellen externen Approximation; sie setzen lediglich gewiße Eigenschaften der externen Approximation voraus. Diese Eigenschaften werden sowohl von gewißen finite-Differenzen-Approximationen als auch von finiten-Elemente-Approximationen erfüllt.

Anschließend wird eine spezielle externe Approximation durch finite Differenzen vorgestellt. Es wird gezeigt, daß diese Approximation alle zuvor geforderten Eigenschaften erfüllt.

Nun wird dargelegt, daß das numerische Schema mit Hilfe eines Druck-Korrektur-Verfahrens gelöst werden kann Bei diesem Verfahren braucht pro Zeitschritt nur ein einziges linearen (Laplace-) Gleichungssystem gelöst zu werden. Die Lösung dieses Gleichungssystems erfolgt durch ein Mehrgitter-(Multigrid-) Verfahren. Es werden ferner zwei weitere Möglichkeiten der Approximation des konvektiven Terms beschrieben. Für diese drei Varianten führe ich umfangreiche Testläufe bei verschieden feinen Diskretisierungen und vierschiedenen Reynolds-Zahlen durch. Dabei vergleiche ich die Qualität und die Stabilität der drei Varianten untereinander.

Links das Geschwindigkeitsfeld einer 2D-Strömung um einen Zylinder. Die Farbe gibt den Betrag der Geschwindigkeit wieder. Hinter dem Hindernis befindet sich eine Zone mit niedriger Geschwindigkeit. Hier lösen sich (abwechselnd am oberen und am unteren Rand des Zylinders) Wirbel ab, die dann nach rechts mit der Strömung fortgetragen werden.
Rechts die dazugehörige Druckverteilung. Vor dem Hindernis herrscht hoher Druck, hinter und auch ober- und unterhalb niedriger Druck. Die Zentren der Wirbel erkennt man am niedrigen Druck.