WALRAS’IN GENEL DENGESİNİN MATEMATİKSEL FONKSİYONLA GÖSTERİLMESİ

            Walras, genel denge teorisini mal piyasası ile faktör piyasası arasındaki farkı ortaya koyarak anlatmaya başlamış, mal ve üretim faktörleri piyasalarının eşanlı denge halini açıklamaya yönelmiştir. Sistemde bilimeyen değişkenler, mal ve üretim faktörlerinin miktarları ve fiyatlarıdır. Sistemde 4 bilinmeyen vardır:

Her mala yönelen bireysel talepler, bütün malların ve faktörlerin fonksiyonu olarak, piyasa talep denklemleri haline getirilir. Bu şekilde m tane denklem olacaktır. Üretim faktörlerinin bireysel arz eğrileri de mal ve faktör fiyatlarının bir fonksiyonu olarak ifade edilir ve faktör arzını gösterecek şekilde toplanır. Böylece n tane denklem elde edilir. Walras, tam istihdamı varsaydığından, toplam faktör miktarı ile mevcut faktör arzının birbirine eşit olması sağlanır. Bu eşitlik de n tane denklemle ayrıca gösterilebilir. Bir başka denklem grubu da, tüketici malları fiyatlarının, onların ortalama üretim maliyetine eşit olduğunu ifade eder.

Sonuçta, 2m+2n-1 tane yani bilinmeyen sayısına eşit denklem oluşacaktır ki bu da eşanlı bir denklem sistemini çözmek için yeterli bir sayıdır:

Tamamlanmış mallar:   a,b,c, ........ m

Bu malları üretmek için gereken faktör arzı:   S_f1, S_f2, ........ S_fn

Üretimin teknik katsayıları:   a_f1, a_f2, ........ a_fn

                                           b_f1, b_f2, ........ b_fn

                                     ..........................

                                      m_f1, m_f2, ........ m_fn

Talep edilen tamamlanmış mal miktarları: d_a, d_b, ........ d_m

Sahipleri tarafından istihdam edilen faktörlerin talebi: d_f1, d_f2, ........ d_fn

m tane tüketim malının marjinal fayda fonksiyonları ile sahiplerince istihdam edilen faktörlerin marjinal fayda fonksiyonları:  U_a =  Æa  (da)

                                                                   U_b =  Æ_b  (db)      

                                                                   ....................

                                                                   U_m =  Æm  (dm)

                                                                   U_f1 =  Æ_f1  ( S_f1 – d_f1 )

                                                                   U_f2 =  Æ_f2  ( S_f2 – d_f2 )

                                                                   ……………………..

                                                                   U_fn =  Æ_fn  ( S_fn – d_fn )

Ortak ölçü birimi olarak kullanılan a malı için herhangi bir denkleme gerek yoktur, n+m-1 tane denklem, n tane bilinmeyen faktör arz fonksiyonunu belirlemek için yeterlidir:

S_f1= f₁ (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

S_f2= f₂ (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

……………………………………………….

S_fn= f_n (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

Aynı şekilde, n+m-1 tane denklem, m-1 tane denklemi belirlemek için yeterlidir:

d_{b =} f_b  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

d_{c =} f_c  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

………………………………………………

d_{m =} f_m  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

            Bireysel talep ve arz fonksiyonlarının toplamı, ekonominin genel denge koşullarını belirleyecek dört denklemden iki tanesini oluşturur. Prodüktif hizmetler arzını gösteren n tane denklem vardır:

S_f1 =  å s_f1 = F_f1  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

S_f2 =  å s_f2 = F_f2  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

………………………………………………………..

S_fn =  å s_fn = F_fn  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

Ayrıca tamamlanmış mallar talebi için m-1 tane denklem vardır:

D_b =  å d_b = F_b  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

D_c =  å d_c = F_c  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

……………………………………………………….

D_m =  å d_m = F_m  (p_f1, p_f2, ……… p_fn, pb, pc, …….. p_m )

Üçüncü grup n sayıda denklemden oluşur ve üretim teknik katsayıları  gereği üretimde kullanılan üretken servis miktarı ile üretken servis arzının eşitliğini gösterir:

a_f1D_a + b_f1D_b + …..+ m_f1D_m = S_f1

a_f2D_a + b_f2D_b + …..+ m_f2D_m = S_f2

………………………………….

a_fnD_a + b_fnD_b + …..+ m_fnD_m = S_fn

Dördüncü bir grup denklem m sayıda tüketim malı fiyatı ile bunların ortalama üretim masrafı arasındaki eşitliği gösterir: Sonuçta 2m+2n-1 adet denklem aynı sayıda bilinmeyeni bulmak için elde edilmiş olur, sistemin çözümlenebilir oluşu bu eşitlik sayesinde garanti edilir.

PARETO OPTİMUMU VE REFAH

Pareto optimumu, bir toplum veya bir birey için sözkonusu olabilir. Eğer bir bireyin geliri artarken diğer bir bireyin gelirinde artış olmuyorsa ya da aynı kalmıyorsa bu durumda optimumluktan söz etmek mümkün değildir. Ters ifadeyle, bireyin refahı açısından optimumluktan söz edebilmek için, bir bireyin gelirinin artmasıyla birlikte diğer bir bireyin de gelirinin artması ya da sabit kalması gerekir. Bu, bireysel refah konusunda optimum durumdur. Toplumun refahından söz ederken de, eğer toplam hasıla artarken, bir bireyin geliri artıp diğer bir bireyin geliri azalıyorsa böyle bir durumda toplumsal refahtan bahsedilemeyeceğini savunur. O zaman, optimumluktan söz edebilmek için gelir artışına bağlı olarak bir bireyin gelirinin artarken diğer bireyin de gelirinin artması veya en azından sabit kalması gerekir.

            Pareto, Walras’ın genel denge analizini kullanarak rekabetin etkin olduğu bir piyasada tüketici ve üreticilerin kaynaklarını nasıl etkin bir şekilde kullanarak refah düzeylerini yükseltmeye uğraştıklarını anlatmaya çalışmıştır. Pareto’nun teorisinde tüketiciler  tatminlerini maksimumlaştırmak için marjinal ikame oranları eşit oluncaya kadar değişime devam ederler. Marjinal faydası yüksek olan malları elde etmek için, marjinal faydası düşük olan malları elden çıkarırlar. Aynı şekilde üreticilerde kârlarını maksimize etmek için kullandıkları girdilerin marjinal teknik ikame oranları eşit olan noktaya kadar kiralama veya piyasada elde etmeye çalışırlar.