Sistema lineal
de segundo orden.
Del ejercicio del documento http://mathinsite.bmth.ac.uk/html/applets.html#solsAnchor ,elegimos el applet Second Order Linear Systems(Analogue),que simula
este sistema,modificamos la posición de los polos
como se muetra a continuación,
que corresponde a la ecuacion
diferencial de segundo orden con coeficientes constantes,
y”+1.2y’+16.36y=100
cuya
respuesta es,
La
ecuación y”+1.2y’+16.36y=100 ,es una
ecuación diferncial de segundo orden no homogenea del tipo
ay”+by’+cy=f(x)
el lector puede consultar el documento Second order
nonhomogeneous differential
equations para resolverla,la ecuación caracteristica
es
donde a=1,b=1.2
y c=16.36,hallamos r como
reemplazamos y obtenemos r1=-0.6+j4 y r2=-0.6-j4
en este caso las raices son dos numeros complejos conjugados
siendo
luego la solucion de la ecuacion diferencial homogenea es
de la forma,
yh(x)=A e^(-0.6x) cos(4x) +B e^(-0.6x)
sin(4x)
para hallar una solucion particular utilizamos el metodo
de los coeficientes indeterminados que se puede leer en el siguiente documento The Method of
Undetermined Coefficients
.
Hacemos
yp=F
que reemplazamos en y”+1.2y’+16.36y=100 , 0+0+16.36F=100 , para un
valor muy grande de x es y(x) constante(o para un tiempo muy grande la oscilación
se habra anulado quedando solo la desviación debido a
la funcion f(t)),
F=6.112 o yp=6.112
y(x)= e^(-0.6x) [A cos(4x) +B sin(4x)]+ 6.112
A continuación hallamos los valores de A y B de la siguiente forma,
y(0)= e^(-0.6x0) [A cos(4x0) +B sin(4x0)]+ 6.112
y(0)= 1 [A x1 +Bx
0]+ 6.112
y(0)= A+ 6.112
si y(0)=0 (condicion inicial) es A=-6.112
luego y’(0)=-0.6 e^(-0.6x) [A cos(4x) +B sin(4x)]+ e^(-0.6x) [-4A cos(4x) +B sin(4x)]
y’(0)=-0.6x1[-6.112]+1[4B]
B= -0.9168
y(x)= e^(-0.6x) [-6.112 cos(4x)
-0.9168 sin(4x)]+ 6.112
si x=t ,es decir una funcion
del tiempo
y(x)= e^(-0.6t) [-6.112 cos(4t) -0.9168 sin(4t)]+ 6.112
y(x)= 6.112 {
(e^(-0.6t)/ 6.112)
[-6.112
cos(4t) -0.9168 sin(4t)]+ 1}
y(x)= 6.112 {
e^(-0.6t) [-cos(4t)
–(0.9168/6.112 )
sin(4t)]+ 1}
y(x)=
6.112 { e^(-0.6t)
[-cos(4t) –0.15 sin(4t)]+ 1}
y(x)=
6.112 {- e^(-0.6t)
[cos(4t) +0.15 sin(4t)]+ 1}
y(x)= 6.112 {1-
e^(-0.6t)
[cos(4t) +0.15 sin(4t)]} ,esta ultima
ecuación es la que resulta del applet Second Order Linear
Systems(Analogue)
Eduardo
Ghershman ,1.05
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