Análisis por Elementos Finitos.
Los problemas de ingenieria.
Los problemas de ingenieria se estudian con
modelos matematicos que representan situaciones fisicas,estos modelos son
ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno e iniciales determinadas.Las ecuaciones diferenciales son derivadas
aplicando leyes fundamentales y principios de la naturaleza a sistemas,estas representan el equilibrio de masas,fuerzas o energia.
Cuando es posible la solucion exacta de
estas ecuaciones nos muestran el comportamiento de un sistema en estudio bajo
ciertas condiciones ,las soluciones analiticas estan compuestas de dos partes (1) una parte homogenea y (2) una parte particular.En
cualquier problema de ingenieria ,hay dos clases de
parámetros que influyen en la forma como el sistema se comportara,primero
estan los parámetros que dan información sobre el comportamiento
natural de un dado sistema,estos incluyen
propiedades tales como el modulo de elasticidad,la
conductividad termica y la viscosidad.
Luego estan los parámetros que producen un disturbio
o alteración en el sistema,como fuerzas externas,momentos,diferencia
de temperatura en el medio y diferencias de presion
en flujos de fluidos.
El comportamiento natural de un sistema aparece es la parte homogenea de la solucion de
las ecuaciones diferenciales,en
contraste,los parámetros que causan disturbios
aparecen en la solucion particular.
Es importante comprender el papel de estos parámetros en el modelado
con las tecnicas de elementos finitos,en términos de sus respectivas apariciones de las
matrices de dureza o rigidez(stiffness)
o conductancia y las matrices de carga o fuerza.
Los sistemas caracteristicos
siempren presentan la matriz de rigidez,la matriz de conductancia o la matriz resistencia,mientras los parámetros que producen disturbios
aparecen en la matriz de carga.
Analisis numerico.
Hay muchos problemas practicos en ingenieria los cuales no podemos obtener la solucion exacta,esto
se puede atribuir a la complejidad
natural de las ecuaciones diferenciales o a las dificultades que pueden ocurrir
con las condiciones de contorno o iniciales.
Para tratar este tipo de problemas usamos las aproximaciones numericas.En contraste a la solucion
analitica
,que muestra el comportamiento exacto de un sistema en cualquier punto
del mismo,las soluciones numericas
aproximan la solucion exacta solo en puntos discretos,llamados nodos.
El primer paso en cualquier procedimiento numerico
es la discretizacion,este
proceso divide el medio de interes en un numero de
pequeñas subregiones y nodos.
Hay dos clases de metodos numericos: (1) metodo
de las diferencias finitas y (2) metodo de los elementos finitos.
Con el metodo de las diferencias finitas,la ecuación diferencial es escrita para cada nodo y
las derivadas son reemplazadas por ecuaciones diferencias ,con ello se
logra un conjunto de ecuaciones lineales simultaneas,aunque
este metodo es facil de
entender y utilizar en problemas simples,se presentan
dificultades al aplicarlo a geometrias complejas o
condiciones de contorno complejas,esta situacion es real para problemas con materiales con
propiedades no isotropicos(que no tienen iguales propiedades en todas las direcciones).
En contraste,el metodo de los elementos finitos usa una formulaciones integral
mas que ecuaciones diferencias para crear un sistema de ecuaciones algebraicas,
por otra parte una funcion continua aproximada se
asume para representar la solucion para cada elemento
,la solucion completa se genera conectando o armando
las soluciones individuales,permitiendo la
continuidad de los limites interelementales.
Pasos basicos en el metodo
de los elementos finitos.
Crear y descretizar la solucion
dominio en elementos finitos,esto
es ,subdividir el problema en nodos y elementos.
Asumir una funcion forma a representar el
comportamiento fisico de un elemento,que es,una funcion continua aproximada que se asume para la solucion del elemento.
Desarrollar las ecuaciones para el elemento.
Armar los elementos a representar en el problema completo,construir la matriz global de rigidez.
Aplicar condiciones de contorno,condiciones iniciales y cargas.
Fase de solución.
Resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales o no lineales
simultaneas para obtener resultados nodales,tal como valores de desplazamientos en diferentes
nodos o valores de temperaturas en diferentes nodos en un problema de trasnferencia de calor.
Fase de postprocesado.
Obtener mas información,en
este punto se puede estar interesado en valores de tensiones o flujos de calor.
En general hay diversos modos de enfocar el problema con los elementos
finitos: (1) formulacion directa (2) formulacion usando la minima
energia potencial y (3) ponderado de las
formulaciones residuales .
Es importante notar que los pasos basicos
que se usan en el analisis por elementos finitos,sin tener en cuenta como
se genera el modelo de elementos finitos es el mismo.
Formulacion directa.
El siguiente problema ilustra los pasos y el procedimiento a realizar
en una gormulacion directa.
Ejemplo 1.
Sea un cuerpo en forma de trapecio ,con una
sección transversal variable que soporta una carga P, según lo mostrado en la
figura abajo. El cuerpo esta fijado en
la base mayor y en el otro extremo,la
base menor , lleva la carga P. El ancho
del cuerpo en la parte superior es W1,y en la parte
inferior es W2, su espesor es t y su longitud es L. El módulo de la elasticidad de la barra es E.
Determinar cuánto se deformara el cuerpo en varios puntos a lo largo de su
longitud cuando se aplica la carga P. No se tendra en
cuenta el peso del cuerpo en el
siguiente análisis, si se asume que la carga aplicada es considerablemente más
grande que el peso de la barra.
Fase de preprocesado
Comenzamos
subdividiendo el problema en nodos y elementos ,para resaltar los
pasos basicos del analisis
por los elementos finitos,haremos al problema simple
y representaremos al mismo por medio de un modelo que tiene 5 nodos y 4 elementos,como se indica en la siguiente figura,
Luego
modificamos al trapecio como cuatros subcuerpos rectangulares,cuyas secciones seran el promedio de las secciones de los limites de cada subcuerpo original,veamos como
realizamos todo el proceso,dividimos al cuerpo en 4 subcuerpos,cada uno de ellos tendran
un alto l,igual a L/4,con la siguiente expresion,
calculamos las sucesivas bases menores wi
dentro del trapecio en function de y,luego con el valor wi
calculamos las secciones a cada incremento de l,esto
nos determina 5 secciones como se
muestra a continuación,
Hagamos
el promedio de estas dos secciones ,una superior y otra inferior , ,luego la igualamos a la seccion
promedio a la de un cuerpo rectangular de espesor t y el largo lo determinamos
como L1,L2,L3 y L4.Con esta simplificación hemos logrado transformar al cuerpo
en forma de trapecio,en otro de forma casi parecida
pero formado de cuatro subsecciones rectangulares,con 5 nodos y 4 elementos,
Eduardo Ghershman 10.2005