A Transformada de Laplace

         Como o próprio nome sugere, tal operação matemática transforma uma função  que depende de uma ou algumas variáveis em outras variáveis acopladas umas às outras por intermédio de uma função. A transformada de laplace está definida apenas para um conjunto muito particular de funções, tais que pertençam ao espaço de Schwartz* e que sejam limitadas no infinito pela exponencial que caracteriza a transformada. Em outras palavras, a função não pode vencer a exponencial (explodir) em nenhum instante. O uso deste tipo de transformação é nos útil na teoria das equações diferenciais parciais, uma vez que uma técnica para a resolução destas se mostra de extrema importância no tratamento matemático de problemas físicos. Tal transformação, a transformada de Laplace,  é definida por:

A Transformada de Laplace Inversa

Podemos definir um outro tipo de transformada que nos será de extrema utilidade, a Transformada de Laplace Inversa. Não demostraremos tal proposição mas a tranformada de laplace inversa aplicada em uma tranformada de laplace devolve a própria função... ou seja, tranforma uma equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária ou ainda numa equação algébrica... isto é incrível não é mesmo, pois toda a dificuldade de resolução da equação diferencial será removida facilmente. Antes de você dar saltos de alegria, nunca se esqueça de que se por um lado removemos uma certa dificuldade, a própria natureza da equação se encarrega de tranferí-la mais adiante (talvez até numa complicação maior!!!). Também não precisa se chatear... a dificuldade estará em resolver uma integral. A Transformada de Laplace Inversa é definida por:

Sua utilidade será mostrada mais adiante em alguns exemplos onde resolveremos algumas equações diferenciais usando ambas as tranformadas.

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* tal espaço apresenta propriedades importantes pois neste espaço podemos definir uma operação iversa da Transformada de laplace, a Transformada de Laplace inversa.