Избранные задачи

1. Неустойчивый многогранник

Легко можно построить выпуклый многогранник, который опрокинется, если его поставить на одну из граней.
Существует ли выпуклый многогранник, который опрокидывается, на какую грань его ни поставишь?

Решение

2. Удивительные графики

Могут ли графики функций ax и logax, 0 < a < 1 пересекаться более чем в одной точке?

Решение

3. Экономный эксперимент

В каждой из трех урн лежат два шара: в одной два белых, в другой - два черных, а в третьей - белый и черный. На урнах наклеены таблички ББ, ЧЧ и БЧ, но ни одна из них не указывает правильно состав своей урны.
Какое минимальное число шаров надо достать наугад, чтобы узнать состав всех трех урн?

Решение

4. Рассеяный Чарли

Чарли вышел на прогулку между 2 и 3 часами пополудни, когда стрелки его часов совпадали. Он вернулся домой между 8 и 9 часами вечера, когда стрелки его часов смотрели в разные стороны.
Сколько времени гулял Чарли?

Решение

5. Коварное неравенство

Верно ли, что для любых положительных x1, x2, ... xn выполнено неравенство

Решение

6. Практическая топология

Однажды, ночуя в гостинице и страдая от бессонницы и клопов, тополог придумал следующую задачу.
Представим себе, что клопы могут беспрепятственно ползать по стенам, полу и потолку, а также прицельно падать вертикально вниз на сколь угодно малую площадку. Вместе с тем они боятся воды и не умеют плавать. Можно ли защитить от клопов кровать, стоящую посередине комнаты, используя сосуды с водой подходящей формы?

Решение

7. Равнобедренный треугольник

Выберем произвольную точку D на базе AB равнобедренного треугольника ABC. Пусть AD=a, DB=b. Найти насстояние между точками касания отрезка CD окружностей вписанных в треугольники ACD и DCB.

Решение

8. Озадаченный монтер

Ввберем произвольную точку D на базе AB равнобедренного треугольника ABC. Пусть AD=a, DB=b. Найти насстояние между точками касания отрезка CD окружностей вписанных в треугольники ACD и DCB.

Решение

Ваши отзывы: miscellone@geocities.com