Agustín Rela
Jorge Sztrajman

A P F A                          ASOCIACIÓN DE

PROFESORES
DE FÍSICA
DE LA ARGENTINA
Versión del 16.Sep.99 - 18:55 pm
MENDOZA
   
1999
(penúltimo año del segundo milenio)

Taller número 1

	ÍNDICE

Introducción: paradojas y temas confusos
Instrucciones de trabajo
Niveles de dificultad
Paradojas sencillas
Propuestas avanzadas
Propuestas más difíciles
Ejemplos
Bibliografía
Acreditación

Introducción: paradojas y temas confusos
	Cuando estudiamos con especial interés  o cierta profundidad, solemos vernos con dificultades y contradicciones: el resultado hallado no es el que esperábamos y suponíamos correcto; aparecen más soluciones que las predichas y no sabemos cómo interpretar las sobrantes; se nos presentan como carentes de solución problemas que nos consta que la tienen; llegamos a resultados diferentes según qué caminos utilicemos, a pesar de que todas esas vías alternativas parecen adecuadas, correctas y equivalentes; en suma, nos vemos perplejos frente a paradojas que no sabemos cómo resolver y que demuestran que el dominio que tenemos sobre el tema es insuficiente y debemos profundizar el estudio.
	Si, después de arduos e insistentes esfuerzos (a veces de varios días) logramos por fin clarificar el problema, hallar dónde estaban nuestros errores e interpretar el tema desde nuevos y más totalizadores puntos de vista, encontramos en ello una enorme satisfacción semejante a la que produce la placentera fatiga que sigue al ejercicio de algún deporte o actividad que nos apasione.

	La enseñanza tradicional suele evitar estos temas espinosos y contradictorios, para no desorientar y frustrar a nuestros alumnos, y prefiere basarse en ejercicios y problemas que salgan. Nosotros proponemos hacer precisamente lo opuesto, y cambiar la aparente y engañosa claridad por la fértil duda; la soberbia certeza de que conocemos y dominamos un tema, por la desoladora noticia de que ni siquiera parece que hayamos iniciado su estudio; la verdad, por la duda; y la ordenada y metódica resolución, por el fértil y grato desorden en que se crían las verdaderas ideas. Así, confusas y contradictorias, son la vida y la actividad profesional, que están plagadas de dificultades y problemas que se deben encarar y resolver con voluntad de entender, esfuerzo, dedicación y espíritu crítico.
	El título del taller, Paradojas de ayer y de hoy, obedece a que una fracción importante de las propuestas ya ha sido tratada en Rosario (1985) y Villa Constitución (1987).

Instrucciones de trabajo
	Proponemos una de las mecánicas posibles para estos encuentros. Se reparte entre los asistentes esta colección de un centenar de temas confusos enunciados de la manera más breve y directa que hemos hallado. Los participantes se dividen en grupos y eligen algunas de esas cuestiones. El criterio de elección es libre: pueden elegir determinados temas y no otros porque les gusten ésos en particular; porque crean dominarlos bien y deseen aportar sus conocimientos a los demás, o lucirse; o, al contrario, porque crean que los ignoran y quieran aprovechar la ocasión para entenderlos o al menos discutirlos; porque los temas escogidos pertenecen a los programas de las materias que dictan o cursan; o quizá por lo contrario. Y hasta será bien visto que se los elija al azar. 
	Hay propuestas puramente matemáticas, que incluimos por la estrecha relación que existe entre el pensamiento físico y el matemático.
	Resuelven esos problemas, y escriben la solución que les parece más clara. Se procura una respuesta breve, concisa, directa, clara y acertada. Pero además, en una segunda parte más amplia de su respuesta, los participantes agregan los ejemplos, argumentos o referencias a observaciones cotidianas o accesibles, mencionan experimentos que parezcan apropiados para la explicación de los temas a los alumnos, y demás recursos que ayuden a la comprensión de la cuestión elegida.
	Si encuentran que no pueden resolver el problema, sea por carecer de suficientes conocimientos o, aun con ellos, por no acertar con la solución, estudian ahí mismo el tema con la ayuda de libros, o bien consultan a los coordinadores del encuentro quienes darán orientación o respuesta, si es que conocen del asunto.
	No se trata, pues, de un examen; no interesa en absoluto si el participante sabía o no su lección, sino de ejercitarse en la consideración y en el estudio del problema, en hallar felices observaciones y referencias, anécdotas que maticen una clase, alusiones a hechos observables y, sobre todo, efectivos y claros argumentos físicos, tanto para sustentar las acertadas ideas que deseen exponer, como para aniquilar --o al menos desgastar-- los erróneos conceptos que solemos llevar a cuestas con obstinación no sólo comparable a la que suele entorpecer el estudio de nuestros alumnos, sino a veces mayor.
	Aun en las propuestas de apariencia trivial, es conveniente mostrar argumentos opuestos, semejantes a los que sostienen a veces nuestros alumnos en sus dificultades de estudio.
	Finalizada esa etapa, que podría durar media hora, o una, cada grupo expone a través de un vocero el tema elegido y su tratamiento, y recibe por parte de los demás participantes los comentarios, sugerencias u objeciones que tuvieren lugar. Los coordinadores moderarán ese debate, agregarán sus reflexiones y harán una síntesis.
	Si el tiempo lo permite, se repetirá una o varias veces esa rutina durante cada jornada.
	Aclaramos que hay escasas preguntas intencionalmente capciosas o cuya interpretación se base en trampas del lenguaje o en sutilezas ajenas a las propiamente físicas; pero sí hay numerosas afirmaciones deliberadamente incorrectas, cuya falsedad forma parte de las confusiones o paradojas planteadas.

Niveles de dificultad
	Hemos separado las propuestas en tres niveles, que consideramos --quizás erradamente-- fáciles, medias y difíciles. Sin embargo y aunque parezca extraño, lo más difícil es a veces resolver las dificultades de estudio relacionadas con los temas físicos más sencillos. Proponemos que, en el caso de que algunos participantes caigan presas del pánico al sentir que no entienden muchos de los temas que están hojeando en ese momento, que vuelvan atrás las páginas y elijan algunos de los del comienzo de la lista; ya tendrán ocasión durante el desarrollo del Taller de trabajar con los demás, con ayuda. 

	El rédito de este tipo de actividad suele ser el estudio y discusión de los temas, pero bien podrían reunirse al final las respuestas corregidas, y hacer con ellas una pequeña publicación con la autoría de los presentes, para referencia y estudio de otras personas que no hayan asistido al encuentro.

	Propuestas de las más sencillas

Kilogramo fuerza y kilogramo masa La fuerza y la masa son magnitudes físicas diferentes, inconmensurables, o sea que no es posible decidir si un kilogramo fuerza es mayor o es menor que un kilogramo masa, del mismo modo en que tampoco se puede afirmar que un grado Kelvin sea mayor o menor que un centímetro. Si son realmente magnitudes diferentes, ¿por qué llevan el mismo nombre, kilogramo, aunque se le agreguen adjetivos? ¿No habrá, en verdad, una equivalencia entre ambas magnitudes? ¿Acaso no es lo mismo, cuando compramos un kilo de tomates, que nos den un peso de un kilogramo fuerza de esa hortaliza, que una masa de un kilogramo masa?

Solución espuria Nos preguntamos en qué instante llegará al suelo un objeto que se lanza hacia arriba a 10 m/s desde 15 m de altura. (Supongamos nulo el rozamiento, y que g vale 10 m/s²). Al plantear las ecuaciones, aparecen dos soluciones en vez de una como esperábamos:

1
	¿Cómo es posible que el objeto llegue al suelo en dos instantes, t1 = -1 s y t2 = 3 s? Un colega se limitaba, en este caso, a desechar la solución t1 porque 'no tiene sentido un tiempo negativo' ¿Es eso correcto?

Corcho que flota en la arena ¿Por qué, si un corcho es menos denso que la arena, no sale a flote cuando lo enterramos en ella? ¿Se está violando el principio de Arquímedes?

Fuerza centrífuga Cuando analizamos diferentes tipos de movimientos de trayectoria curva (uniformes y variados), encontramos que el vector aceleración nunca tiene componente hacia el lado de afuera de la curva. Por ello, o bien la aceleración  es nula, o bien es tangencial, o bien tiene una componente centrípeta, pero nunca hay una aceleración centrífuga. Ahora bien, como la segunda ley de Newton 3 establece que la dirección y sentido de la fuerza total coincide con el de la aceleración resulta que, si no hay aceleración centrífuga, tampoco habrá fuerza centrífuga. Entonces, ¿cómo es que existen los lavarropas centrífugos para escurrir la ropa, y bombas centrífugas que bombean el agua? Si no existe la fuerza centrífuga, qué fuerza es la que empuja al acompañante hacia el conductor, cuando un coche dobla hacia la derecha?

Vacío y gravedad A veces oímos que 'en el vacío no hay gravedad y los cuerpos flotan en el aire.' ¿En qué aire, si se acaba de decir que estábamos en el vacío? ¿Cómo se puede flotar si no es en algún fluido (agua, aire)? ¿Qué se quiere afirmar, entonces, con esa expresión tan difundida?

Niñito y ropero Juan Foncuberta solía preguntar cuánto vale la fuerza de rozamiento, y hacia dónde está dirigida, en el caso en que un débil niñito empuje con una fuerza de un newton (unos 100 gramos) un ropero de cien kilos apoyado sobre un piso con coeficiente de rozamiento 0,5. Si la fuerza de rozamiento vale Fr=m.N, y la fuerza normal es de unos 1000 newton, el rozamiento valdría ‑‑calculábamos-- 500 N, o sea que ¡el ropero saldría disparado con una aceleración de casi 5 m/s² hacia quien lo empuja apenas! Afortunadamente, nada de eso ocurre ¿Por qué los roperos no aplastan a los niñitos que los tocan?

Presión atmosférica ¿Puede funcionar una aspiradora de polvo en la Luna? ¿Y dentro de la cápsula presurizada de una nave espacial ingrávida? Los técnicos en circuitos suelen usar un cilindro que aspira bruscamente, cuando se libera un resorte, el estaño fundido de una soldadura, y así desueldan fácilmente componentes averiados. ¿Funcionaría ese aparato en el vacío? 

Colón y la tierra esférica Suele mostrarse en relatos y películas que Colón debió esforzarse para sostener, en 1490, la idea de una Tierra esférica que permitiese viajar a la India por una ruta de occidente, ante la creencia generalizada de la planitud del mundo. Sin embargo, leemos que Eratóstenes de Cirene (director de la Biblioteca de Alejandría) había considerado redondo a nuestro planeta ¡y medido su diámetro con un error menor que el dos por ciento! ya en el siglo ii antes de Cristo. ¿Cómo se resuelve ese anacronismo?

Centro de gravedad Los cuerpos huecos, ¿tienen centro de gravedad? ¿Es posible que el centro de gravedad de un cuerpo sea un punto que no le pertenece?

El peso transmitido Un estudiante, para aplicar una fuerza de 1 newton a un cuerpo de 1 kg, colgó un cuerpo de 102 g (cuyo peso es, precisamente, de 1 N) como indica la figura. El cuerpo, en vez de acelerarse a 1 m/s², lo hizo sólo a 0,9 m/s². ¿Sería por el rozamiento?

	Propuestas más avanzadas

El peso del aire Se suele ver en textos el experimento de colgar dos globos inflados de una percha que actúa como balanza. Cuando se pincha uno de ellos, la percha se desbalancea, y eso demostraría que el aire pesa, pues ahora el globo pinchado se encuentra, naturalmente, sin aire. Pero el globo pinchado ocupa menos volumen que el inflado; entonces recibe mayor empuje, pues ambos están sumergidos en aire. La percha, ¿no debería permanecer en equilibrio?

Automóvil en una curva ¿Cuál de las ruedas de un automóvil que toma una curva es la que gira con mayor velocidad angular? ¿Y la que gira con menor velocidad angular (excepto la rueda de auxilio, desde luego)? ¿En qué orden se encuentran las velocidades de giro de las otras dos ruedas?

Energía en un salto Cuando una persona salta, la fuerza exterior que lo impulsa hacia arriba la hace el piso, sobre sus pies. Esa fuerza no trabaja, porque tiene fijo su punto de aplicación; cuando el que salta se despega del piso, esa fuerza desaparece. Entonces, ¿de dónde sale el trabajo necesario para elevar a la persona sobre el nivel del suelo? 

Sentido de la fuerza de rozamiento La fuerza de rozamiento ¿se opone siempre a la velocidad del cuerpo sobre el que actúa? ¿Hay casos en que la fuerza de rozamiento realice trabajo positivo, o sea que su trabajo aumente la energía mecánica del cuerpo sobre el que actúa? ¿O el rozamiento siempre gasta energía mecánica? ¿Hay ejemplos de rozamiento estático y de rozamiento dinámico en que la fuerza de rozamiento realice trabajo positivo, negativo y nulo?

Relieve de neumáticos innecesario Se suele afirmar que la fuerza de rozamiento dinámica o cinética vale Fr=m.N. Así, un cuerpo de goma de determinado peso, apoyado sobre un pavimento de asfalto, recibirá la misma fuerza de frenado independientemente de cuál sea la posición en la que se lo apoya, y la forma y extensión de la superficie de contacto. Entonces, ¿por qué se les hacen relieves a las cubiertas? Es una contravención importante circular con los dibujos de los neumáticos muy gastados.

Dieciocho codos Es imposible bombear agua por aspiración desde más de diez metros y medio de altura; ese hecho se sabía desde muy antiguo y fue documentado, entre otros, por Georgius Agricola (Georg Bauer) en el siglo xvi, estudiado por Galileo, y explicado por su discípulos Torricelli y Viviani. Pero habría una manera de bombear agua por aspiración desde una altura algo mayor, sin esperar condiciones atmosféricas especiales ni hacer la experiencia en un pozo muy profundo donde la presión del aire sea mayor que al nivel del mar. ¿Cuál es? (Pista: El principio de inercia.)

Cumbres frías Cuando nos subimos a una escalera en una habitación, notamos que el aire está más caliente arriba que abajo, porque el aire caliente tiene menos densidad que el frío y flota en él; por eso conviene poner los calefactores en lugares bajos, y los enfriadores en sitios elevados. Si así son las cosas, ¿por qué hace más frío en las localidades altas? ¿Por qué hay montes en zona ecuatorial, como el Kilimanjaro, cuyas cumbres están nevadas durante todo el año? Las nubes se forman casi siempre a unos miles de metros de altura, donde hace frío y se condensa el vapor de agua de la atmósfera. ¿Por qué no baja ese aire, si por estar más frío debería ser más denso? ¿Qué le pasa a la atmósfera, que no le sucede al aire de una habitación?

Ventosa sumergida Todo cuerpo sumergido recibe un empuje hacia arriba igual al peso del líquido que desaloja. Entonces, ¿por qué queda adherida una ventosa al fondo de un acuario, aunque esté hecha de material menos denso que el agua que lo llena? Y, si fuera de material más denso que el agua, ¿por qué es necesaria una fuerza bastante mayor que su peso para despegarla? ¿Acaso el principio de Arquímedes no vale en ese caso? ¿Qué sucede si se hace un vacío parcial en ese acuario, por encima de la superficie del líquido?

Galileo y la Tierra fija Es conocida la histórica polémica entre Galileo y los peripatéticos acerca de si la Tierra gira, o si está inmóvil y son los demás astros los que giran a su alrededor. Actualmente se acepta que es Galileo quien tenía razón y que la Tierra gira, como lo demuestra el péndulo de Foucault y el giro de los tornados y huracanes. Ahora bien, y desde la misma perspectiva galileana, ¿no es que sólo existen movimientos relativos entre los objetos? Entonces, ¿por qué se da hoy la razón a Galileo? Decir que la Tierra gira, ¿no es una afirmación cinemática absoluta y, por ello, antigalileana?

Globo y coche que frena Cuando frena un coche con todas sus ventanillas cerradas, ¿hacia dónde se acelera (respecto del vehículo) un globo inflado con helio que sostenga de un hilo uno de los ocupantes del vehículo? ¿Hacia adelante, igual que todos los demás objetos sueltos, o hacia atrás? Y, si éste fuera el caso, ¿habría entonces una especie de inercia negativa para el helio? ¿Acaso la masa del globo no es positiva, aunque la pequeña densidad del helio hace que el globo flote en el aire?

Mono y bananas Un mono cuelga de una soga que pasa por una polea, y del otro extremo de la cuerda pende un cacho de bananas del mismo peso que el mono. ¿Qué ocurre si el mono comienza a trepar por la soga? ¿Es posible que el mono trepe y ascienda, mientras el cacho permanece inmóvil? ¿Y lo opuesto? ¿O acaso suben ambos cuerpos en forma simultánea? Pista: ¡Atención con las condiciones iniciales de los cuerpos! 

Dos personas, ¿hacen más fuerza que una? ¿Cuándo está sometida a mayor tensión una soga; cuando tira una persona de cada extremo, o cuando tira una sola de un extremo, con el otro atado a una pared? (Se supone que en ambos casos los sujetos hacen, individualmente, el mismo esfuerzo.)

Manguera usada como nivel Si se usa una manguera como nivel en albañilería, ¿influirían las desigualdades que pudiera tener del diámetro del tubo? ¿Y la presencia de burbujas o aire intermedios?

Presión sanguínea ¿Se puede medir la presión de agua en una tubería con el mismo método que utilizan los médicos para medir la presión sanguínea de una persona? (El aparato que usan, el esfigmomanómetro, estrangula las arterias con una bolsa que se infla hasta que ya no circula la sangre.

Ascenso capilar La fórmula de Jurin establece que la altura que alcanza un líquido por ascenso capilar está limitada por la expresión h=2s/(Rdg), donde h es la altura en metros, s es la tensión superficial del líquido, d su densidad, R es el radio del tubo y g la aceleración de la gravedad. La tensión superficial del agua es de unos 0,075 N/m, y hay árboles de más de 100 m de altura. Para justificar semejante ascenso por capilaridad, los conductos deberían tener entonces un diámetro de un cuarto de micrón. Pero las células de los vegetales tienen un tamaño mayor. ¿Cómo se explica, entonces, el ascenso del agua desde las raíces hasta las hojas más altas?

Perpetuum mobile capilar Supongamos que, con un tubo suficientemente delgado, conseguimos elevar agua unos diez centímetros. Si usamos un tubo de cinco centímetros en forma de sifón, lograríamos que el agua suba por capilaridad y gotee sobre el recipiente, en un movimiento continuo que se podría aprovechar para obtener energía gratuita a partir de la caída de cada gota, en contra del conocido principio de conservación de la energía. ¿En qué fallaría tal diseño?

Resultante ¿Existe alguna diferencia entre la resultante de un sistema de fuerzas y la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema, cuando se trata de fuerzas aplicadas a una partícula o punto material, o son dos nombres diferentes para lo mismo? ¿Y si se trata de un cuerpo extenso? ¿Hay sistemas de fuerzas que carezcan de resultante? ¿Y que carezcan de suma?

Corrección del barómetro ¿Por qué en los barómetros de mercurio se efectúa una corrección por capilaridad, y esa corrección no se hace en los termómetros del mismo líquido, si el diámetro del tubo de los termómetros es mucho menor y, por tanto, hay capilaridad más intensa?

Pascal y la presión atmosférica Leemos en el Tratado de la Pneumática que Blaise Pascal había determinado que la presión atmosférica en París equivale a una altura de 31 pies y 2 pulgadas de columna de agua. A una altura de 10 toesas sobre el nivel del suelo, la presión es de sólo 31 pies y 1 pulgada de columna de agua. (Cada toesa tiene 6 pies.) Refiere Pascal, asimismo, que un pie cúbico de agua pesa 72 libras. ¿Son consistentes esos datos? ¿Cuánto medían la pulgada y la libra parisinas en 1650?

Caída con rozamiento Si se sueltan dos objetos desde la misma altura y el rozamiento con el aire es despreciable, llegan al suelo al mismo tiempo. ¿Qué ocurre si el rozamiento con el aire es importante, pero los objetos tienen la misma forma y tamaño, aunque diferentes pesos? La fuerza que hace el aire sobre los objetos depende solamente de la forma y tamaño de los cuerpos, y de la velocidad con la que se desplazan. ¿Significa esto que llegarían en iguales tiempos una bola de plomo y otra de madera del mismo diámetro?

Ultracentrífugas En los laboratorios de biología es común el uso de centrifugadoras de varios miles de gravedades, que permiten sedimentar preparados en menos tiempo que si se los dejara simplemente en reposo bajo la gravedad normal. Esos aparatos, ¿multiplican varios miles de veces el peso de un glóbulo rojo, o de una partícula en suspensión? Ese peso debería permanecer constante, puesto que la masa de cada partícula y la de la Tierra permanecen invariantes, y tampoco ha cambiado la distancia entre las partículas y el centro de nuestro planeta. ¿Cómo es que, sin embargo, todo eso funciona?

Abeja en avión Charles Lindbergh, primero en volar desde los EEUU hasta Francia sin copiloto, en 1927, aligeró cuidadosamente la nave de todo elemento que no fuera absolutamente imprescindible para el vuelo. Obsesionado, y al ver una abeja dentro de la cabina, se preguntó si ese peso contaría aunque el insecto se mantuviese en vuelo durante la travesía. ¿Qué dice la física al respecto?

Piel súper resistente La presión atmosférica es de aproximadamente 1 kgf/cm², y la superficie del cuerpo mide cerca de un metro cuadrado; por tanto, soporta unas diez toneladas. ¿Por qué no nos agobia ni nos aplasta esa gran fuerza? ¿Es que somos capaces de soportar el peso de diez automóviles? Y, si subimos a una localidad en la que la presión sea un diez por ciento menor que la habitual ¿podríamos cargar sobre los hombros un coche con todos sus ocupantes, aliviados por estar soportando allá, por parte del aire, sólo 9000 kilos? 

Dos intensidades de movimiento Tanto la energía cinética ½mv² como la cantidad de movimiento mv dan cuenta de lo que, intuitivamente y sin gran rigor, muchos interpretan como la intensidad de un movimiento. ¿Podría ocurrir que un cuerpo posea más energía cinética que otro y que, sin embargo, tenga una cantidad de movimiento menor?

Incrustamiento y rebote Si se dispara un proyectil contra un blanco ¿en qué caso le transfiere mayor cantidad de movimiento? ¿Cuando rebota, o cuando se incrusta en él?

Río Este problema, entre otros, es señalado por Ricardo Cabrera (UBA‑CBC), como especialmente engañoso tanto para estudiantes como para docentes: ¿En qué región tiene mayor energía mecánica un río? ¿Cerca de su nacimiento, o cerca de su desembocadura? 

Validez de Newton con rozamiento Otro enunciado muy engañoso, detectado también por Cabrera: ¿Es cierto que las leyes de Newton no valen cuando hay rozamiento?

Aparejo anómalo El siguiente caso no es paradojal, sino meramente extraño a los programas de enseñanza habituales. ¿Qué fuerza, aplicada al extremo libre de la soga, equilibraría el aparejo de la figura? Notemos que no es un aparejo factorial ni potencial. Hay quienes afirman que es imposible construir ese aparato y que se desarmaría al llevarlo a la práctica; otros dicen que el problema sería hiperestático y que hay condiciones o bien redundantes, o bien contradictorias.

Giro terrestre ¿Cuáles de las siguientes observaciones corroboran el giro diario de nuestro planeta alrededor de su eje? el movimiento de las estrellas; el del Sol; el de los planetas; el de los cometas; los eclipses de sol; los de luna; el giro del plano de oscilación del péndulo de Foucault; el experimento con el agua en un tubo toroidal descripto en uno de los enunciados de esta colección; el giro de los huracanes diferente en cada hemisferio; el sentido en que se enroscan las enredaderas; el de los caracoles; el del agua cuando se escapa por el sumidero de una bañera; el campo magnético terrestre; los viajes de Magallanes; los de Colón; el hecho de que cuando un barco se aleja, desaparece antes el casco y después el mástil tras el horizonte; las observaciones de Galileo de los satélites de Júpiter con el telescopio; las de Eratóstenes de Cirene; el desvío de los proyectiles disparados por la artillería estudiado por Gaspard de Coriolis; el sentido de giro de las agujas de los relojes; la inclinación de la lluvia; las características de las márgenes opuestas de los ríos caudalosos que corren paralelos a los meridianos; el hecho de que cuando en el hemisferio norte es verano, en el otro es invierno; la existencia misma de las estaciones del año; el movimiento de los giróscopos; el de las flores de girasol; el hecho de que en Europa amanece antes que en América; el achatamiento de la Tierra en los polos; el que los satélites artificiales se puedan poner en órbita con menor velocidad inicial cuando se los lanza hacia el oriente; y el hecho de veamos que otros planetas giran.

Vaso y vela Si ponemos agua en un plato, encendemos en él una vela y la tapamos con un vaso boca abajo, la vela se apaga y el agua asciende unos centímetros. Aunque en los últimos veinte años se la ha criticado repetidas veces, todavía se ve en libros y revistas el siguiente explicación del fenómeno: la llama consumiría el oxígeno del aire, y el espacio que ocupaba pasa a ser llenado por agua del plato. Pero si realmente se gasta oxígeno en la combustión, ¿no deberían crearse simultáneamente igual cantidad de moléculas de dióxido de carbono? Según la teoría de los gases ideales, iguales cantidades de moléculas ocupan iguales volúmenes. ¿Por qué sube el agua entonces?

Trabajo negativo Una persona, ¿puede hacer trabajo negativo? Si así fuera, ese ejercicio la cansa, o la descansa?

Salto en alto ¿Por qué --nos preguntó una vez Aníbal Kacero (UBA, CBC)-- los atletas que desean obtener una gran marca de salto en alto toman una veloz carrera horizontal inmediatamente antes de saltar? ¿Acaso no enseñamos que, en los tiros oblicuos, la velocidad horizontal no influye en absoluto sobre la altura máxima alcanzada?

Cama elástica Otra propuesta de Aníbal, que también se refiere a saltos: Una persona que salta sobre una cama elástica y aporta energía en cada salto, ¿podría saltar hasta la altura que quisiese, sin ningún límite?

Lona de los bomberos Si una persona se deja caer desde un décimo piso sobre la lona de los bomberos, quienes lo atajan en una distancia de un metro (más, imposible, porque daría contra el piso), para eliminar la energía cinética que adquirió durante su caída, que vale su peso por la distancia de unos 30 metros, sería necesario un trabajo del mismo módulo; eso equivale a una fuerza 30 veces mayor que el peso del rescatado. ¿Cómo resiste, sin daños, semejante esfuerzo? ¡Sería como si le pasara un coche por encima!
llega

Agacharse en la balanza Si una persona se agacha y se levanta mientras se encuentra subida a la plataforma de una balanza, ¿qué indica la balanza cuando se está agachando con velocidad constante, cuando se incorpora en las mismas condiciones, y cuando comienza y termina de realizar cada una de esas operaciones? ¿Indica siempre el peso de la persona, o a veces valores mayores o menores?

Agacharse en la balanza II Cuando creíamos tener resuelto el problema de la balanza que acabamos de mencionar, alguien trajo al aula una balanza de baño y nos mostró que, al pesarse en cuclillas, la balanza indicaba uno o dos kilos más que al pesarse erguido. ¿Sería por la variación de la distancia del sujeto al centro de la Tierra? (Aseguramos que, efectivamente, la balanza acusaba esa diferencia; fue grande nuestra sorpresa cuando encontramos la causa, y mayor el alivio al comprobar que, a pesar de todo, nuestros razonamientos eran correctos.)

Energía potencial de un globo Tanto el material del que está hecho un globo aerostático, como el gas que lo llena, tienen masa positiva. Cuando se suelta un globo, entonces, aumenta su energía potencial gravitatoria. ¿A expensas de qué otra energía se produce ese aumento? ¿O para los globos no vale el principio de conservación de la energía?

Huaco andino ¿Qué función cumple la doble abertura de las vasijas de alfarería conocidas como huacos? ¿Acaso obedece a motivos puramente estéticos o artísticos? ¿Quizás alguna antigua costumbre establecía que las personas de diferente sexo, o casta, debían beber de picos diferentes? Hay una razón hidrostática que explica la utilidad de ese diseño. Una vez imaginada, determinen si es importante o no que el asa que une ambos picos sea hueca o maciza.

Polos en imanes ¿Puede haber un imán con dos polos norte y dos polos sur? ¿Y con tres polos sur y ocho polos norte? ¿Y con un solo polo?

Gran Muralla China La Gran Muralla mide unos 6000 km (un radio terrestre). La cantidad de habitantes de la China en la época en que se construyó era del orden de los mil millones de habitantes, de los cuales al menos un tercio estaba en condiciones de trabajar. Esto arroja unos dos centímetros de muralla por habitante, que es bastante poco y podrían haberlos edificado en un fin de semana. ¿Por qué, entonces, la construcción demoró varios siglos, y esa defensa jamás se pudo terminar?

Colores primarios Recordamos que en la escuela nos enseñaban que los colores primarios son el rojo, el azul y el amarillo. Sin embargo, cuando examinamos con una lupa la pantalla de un televisor o de un monitor, vemos que los colores de las baldositas elementales con las que se componen todos los tonos posibles son el rojo, el azul y el verde. ¿Cómo se explica esa sustitución del amarillo por el verde?

Energía de capacitores en paralelo Tenemos un capacitor de 1 mF con 10 mC de carga; su tensión es de 10 V, y su energía vale QV/2=50 mJ. Otro capacitor, también de 1 mF tiene una carga de 50 mC, una tensión de 50 V, y una energía es de 1250 mJ. (La energía total es de 1300 mJ.) Ponemos en paralelo ambos capacitores, y resulta un conjunto de 2 mF de capacidad, 60 mC de carga y, por tanto, de 30 V de tensión. La nueva energía es de 900 mJ. ¿Qué se hizo de los cuatrocientos microjoules faltantes?

Energía en tanques interconectados Este problema es la versión mecánica del de los capacitores. Hay dos tanques iguales de un metro cuadrado de base apoyados sobre el piso. En uno de ellos se ponen 100 litros de agua, y en el otro, 500 litros. Los centros de gravedad de los líquidos están, respectivamente, a 5 cm y a 25 cm de altura. Las energías potenciales gravitatorias suman 100 kg.10 m/s².0,05 m + 500 kg.10 m/s².0,25 m = 1300 J. Ahora interconectamos los dos tanques y dejamos que se igualen los niveles en el valor de 30 cm; la nueva energía vale 600 kg.10 m/s².0,15 m = 900 J. ¿Dónde están los 400 joules faltantes?

Agujero en bolígrafos ¿Por qué los bolígrafos tienen un pequeño agujero en el cuerpo? ¿Qué función cumple, y qué ocurre si lo tapamos?

Manijas cromadas al sol (Ya casi no se ven coches con piezas cromadas; se las ha dejado de fabricar porque el cromo se considera un ion pesado que contamina el suelo y el agua.) Algunos recordamos haber tocado una manija de puerta cromada de un coche estacionado al sol, y sentimos que nos quemaba. ¿Cómo es posible que se haya calentado tanto, si los objetos brillantes reflejan casi toda la radiación que incide sobre ellos?

La fuerza la hace el motor Cuando preguntamos a nuestros alumnos quién hace la fuerza que impulsa un coche hacia adelante cuando arranca, nos contestan a veces: --El motor.-- Pero, por el principio de acción y reacción, si el motor hace fuerza sobre el coche hacia adelante, el coche debe hacer una fuerza de la misma intensidad sobre el motor hacia atrás. Cada vez que queramos arrancar deberíamos arrojar motores hacia atrás. ¿Por qué, entonces, cargamos nafta, agua y aceite en las estaciones de servicio, y no también motores para arrojarlos y poder avanzar en la ruta contra la resistencia del aire?

Miopía y aumento Los miopes ven bien de cerca y borroso de lejos, y usan anteojos divergentes para poder ver bien los objetos distantes. La imagen de una lente divergente es de menor tamaño (tanto longitudinal como angular) que el objeto. Entonces, ¿por qué, cuando se agudiza la miopía, decimos que necesitamos anteojos con más aumento?

Isla del Día Después ¿Existen dos localidades en el mundo tales que, en cierto instante, en ambas sean las once de la mañana, pero que en una de ellas la fecha sea el 22 de septiembre de 1999, y en la otra, ubicada a pocos kilómetros de distancia, sea el 23 de septiembre del mismo año?

Finimilenar ¿Cuándo comienza el tercer milenio de nuestra era? ¿El primero de enero del año 2000 a la cero hora, o el mismo día, a la misma hora, del año 2001?

Dilatación de la llanta abierta Se recurre a menudo al ejemplo (bastante antiguo) de las llantas de hierro que se colocaban a las ruedas de madera de los carros. La llanta se calentaba para dilatarla y, ya puesta, se enfriaba a baldazos de agua, para ajustarla antes de que quemase la madera. Supongamos que una de esas llantas está cortada y el corte produjo una pequeña separación en el perímetro. Cuando la llanta se dilate al calentarla, ¿qué ocurrirá con la abertura? ¿Se ampliará, igual que todas las dimensiones del objeto, o se achicará, puesto que a la ausencia de material le tendría que ocurrir lo opuesto que al material?

Persona que se iza a sí misma ¿Puede izarse a sí misma una persona, si dispone de una soga y una polea fija al techo, o es necesaria la intervención de alguien de afuera?

Caen con la misma aceleración Solemos decir que todos los cuerpos caen con la misma aceleración. Esa afirmación, ¿incluye a los cuerpos que están firmemente sujetos, por ejemplo un cuadro colgado de la pared?

Caer para arriba El diccionario llama pleonasmo a la figura expresiva que consiste en redundar para dar más énfasis a la palabra, por ejemplo: lo vi con mis propios ojos, o cayó para abajo. Ahora, desde la física, ¿es posible que un cuerpo caiga para arriba?

Acción y reacción Si, de acuerdo con la tercera ley de Newton o principio de interacción, para cada fuerza que un cuerpo ejerce sobre otro, siempre existe una reacción de igual intensidad y exactamente opuesta, ¿cómo es que existen aceleraciones en el universo? Las fuerzas, ¿no deberían estar todas equilibradas, cada una con su reacción? ¿O acaso puede haber aceleración con fuerzas equilibradas, en contra de la segunda ley F=m.a?

Polvareda lunar ¿Levantan polvo los vehículos que caminan sobre la superficie de la Luna? Ese polvo, ¿queda suspendido en el aire más tiempo que en la Tierra? ¿En qué aire?

Salchichas al vacío En 1650 algunos filósofos habían creído demostrar la imposibilidad del vacío; hoy envasamos salchichas en esa imposibilidad. Nos preguntamos si esas salchichas pesan más o pesan menos que si tuvieran un envase ordinario.

Patinadores sin rozamiento Es frecuente recurrir al ejemplo de los patinadores como casos de cuerpos que se desplazan con rozamiento despreciable. Si así fueran las cosas, ¿cómo es posible que un patinador --o patinadora-- doble en su recorrido, o trace elegantes círculos? ¿No debería ir siempre en línea recta, y clamar por ayuda mientras sigue de largo, sale del escenario y choca con estrépito contra una pila de trastos? Nada de eso sucede --por fortuna‑‑; entonces hay un error o una importante omisión en lo que decimos. ¿Cuál es?

Velocidad y aceleración ¿Puede estar acelerado un objeto quieto?

Vínculo y rozamiento ¿Hay algún caso en que la fuerza de vínculo sea una fuerza de rozamiento?

Aire que entra por las heridas Sabemos que una presión sanguínea normal es de 8 centímetros de mercurio y 12 de máxima. Ésta equivale a menos de un sexto de la presión atmosférica. entonces, ¿por qué nos sale sangre por las heridas, en vez de entrar aire al torrente sanguíneo? 

	Propuestas más difíciles

Péndulo venenoso Este ejercicio causa estragos en las cursos elementales: A un cuerpo que está en reposo y colgado de un hilo de un metro, se le imprime una velocidad horizontal de cinco metros por segundo. ¿Hasta qué altura llega, y cuánto vale la tensión del hilo en el instante en el que la alcanza?

Caída desde una torre En el siglo xvii se expuso el siguiente argumento en contra de la idea de Galileo de que la Tierra gira. Si así fuera --decían--, cuando se suelta una piedra desde la picota de una torre, debería caer un kilómetro hacia el oeste puesto que, mientras la piedra cae durante unos segundos, el suelo avanzaría esa distancia. El sabio italiano respondió que no existe tal retraso, del mismo modo en que un tonel que gotea en el centro de un jarro lo seguirá haciendo aunque ambos recipientes viajen en un barco que se desplaza a gran velocidad uniforme y en línea recta. ¿Es absolutamente cierta esa afirmación? La piedra, cae justo debajo del punto de suelta?

Manguera enrollada Martin Gardner ofreció en Scientific American este interesante problema: ¿Es posible que si se enrolla una manguera en un carrete de apenas medio metro de diámetro, se necesite la presión de varios metros de agua para que comience a circular el líquido?

Rotación de la Tierra Un método para comprobar la rotación terrestre, menos conocido que el péndulo de Foucault, consiste en disponer en un plano paralelo al ecuador un tubo transparente lleno de agua en forma de anillo circular. Cuando el agua se considera en reposo con respecto al observador, hacemos girar rápidamente el plano 180 grados alrededor de un eje horizontal, y se observan atentamente las partículas en suspensión en el agua con la ayuda de un anteojo: se las verá desplazarse al doble de la velocidad angular de nuestro planeta. ¿Por qué el doble?

Coriolis Si en el polo sur se dispara un proyectil horizontalmente, se desvía hacia el este (o sea hacia la derecha) por el giro terrestre. La fuerza de Coriolis vale , donde aparecen el vector velocidad del proyectil, respecto de Tierra, y el vector velocidad angular de nuestro planeta con respecto a las estrellas, ambos en producto vectorial. Y, si se disparara el proyectil desde el blanco hacia el polo sur, ¿se desviaría también hacia el este (o sea hacia la izquierda esta vez), o quizás hacia la derecha o el oeste?

Ley de Hooke (problema epistemológico) La ley de Hooke establece que la fuerza es proporcional a la deformación de un resorte: 5. Si usamos esa ley para calibrar un dinamómetro, aplicaríamos una fuerza unitaria (por ejemplo colgaríamos del resorte un objeto cuyo peso se adopta como unidad), y reproduciríamos la deformación tantas veces como lo requiera el alcance que queramos dar al instrumento. Pero esto no parece ser, entonces, una ley, puesto que, cualquiera sea el comportamiento de ese resorte, por la definición de fuerza que acabamos de aceptar, si el resorte se estira el triple, es que la fuerza es triple. ¿Qué es, entonces, la ley de Hooke? ¿Acaso sólo una definición? ¿Es posible imaginar un cuerpo perfectamente elástico que no cumpla la ley de Hooke?

Razonamiento circular con fuerza y masa (más epistemología) Para evitar el problema anterior con la definición de fuerza mediante la deformación de cuerpos, se opta por definir la fuerza como el cociente entre la aceleración y la masa. Si vemos que un cuerpo no tiene aceleración (o sea que está en permanente reposo, o en movimiento rectilíneo y uniforme), diríamos de él que no tiene fuerzas aplicadas. Entonces, ¿qué significado tiene la siguiente afirmación? Todo cuerpo persevera en su movimiento, a menos que actúe una fuerza. Dado que la fuerza se define, según acabamos de aceptar esta segunda vez, como proporcional a la aceleración, concluimos que Todo cuerpo persevera en su movimiento... a menos que no persevere; con esas palabras plantearon Maiztegui y Sabato esta cuestión en uno de sus libros. ¿Cómo resolver esa aparente sustitución de una ley física por una definición, que es en verdad una tautología? ¿Cómo podemos decir de un enunciado que es una ley física, si se seguiría cumpliendo aunque el universo enloquezca por completo?

Cantidad de materia Newton define la masa como la cantidad de materia, y ésta, con algo de ingenuidad, como el producto de la densidad por el volumen. Afirma, sobre esa base, que la aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza, e inversamente proporcional a la masa ¡sin definir la fuerza! y sin aclarar más que lo que ya se ha dicho acerca de la masa (en rigor, después dice, de manera más simple, que la fuerza es directamente proporcional a la derivada temporal de la cantidad de movimiento p=m.v). ¿No hay ahí otro razonamiento circular o, al menos, una grave imprecisión? ¿Cómo podemos saber si las leyes de Newton son correctas o no, si no sabemos qué es la fuerza, ni qué es la masa? ¿Y cómo lo supo el propio Isaac Newton en 1684?

Aceleración centrípeta Para hallar la aceleración centrípeta de un movimiento circular se puede usar cualquiera de estas fórmulas:

Según la primera expresión, la aceleración centrípeta es directamente proporcional al radio; la segunda nos dice, en cambio, que es inversamente proporcional al radio, y la tercera... ¡que no depende de él! ¿En qué quedamos?

Bolita roja ¿Puede existir --aunque sólo sea en la imaginación-- una bolita roja de medio micrón de diámetro? ¿Y una azul?

Cinchada En el juego conocido como la cinchada, varias personas tiran de un extremo de una soga, e igual cantidad de sujetos tiran del otro extremo (generalmente luchan solteros contra casados). Gana el equipo que consigue arrastrar al otro y lo obliga a cruzar la línea media. Pero, según el principio de acción y reacción, la fuerza que ejercen los solteros sobre los casados tiene que tener exactamente el mismo módulo que la que ejercen éstos sobre los célibes. ¿Cómo es posible, entonces, que gane alguien esa clase de torneo?

Ley del paralelogramo (otra cuestión epistemológica) Todos conocemos la ley del paralelogramo, que establece que dos fuerzas aplicadas en el mismo punto equivalen a una única fuerza cuyo módulo sea igual a la diagonal del paralelogramo formado por esas dos fuerzas. Esa ley, ¿es una ley experimental, o se puede deducir? Es posible imaginar un universo en el que no se cumpla la ley del paralelogramo para las fuerzas? Si el caso fuera que la llamada ley del paralelogramo es deducible, entonces la estática, como rama de la física, no sería una ciencia experimental, sino poco más que una rama de la matemática o de la lógica. ¿Es así efectivamente, o la estática es una ciencia de base experimental? En otros términos: ¿podríamos imaginar un universo en el que no se cumplan las actuales leyes de la estática como la regla del paralelogramo, o la suma de momentos igual a cero como condición de equilibrio? 

Perfil alar Se suele ofrecer la siguiente explicación acerca del vuelo de aves y aviones: El ala es más curva por arriba que por abajo; así, en el mismo tiempo, el aire recorre más contorno por arriba; por esa razón ahí es más veloz. Entonces, por el teorema de Bernouilli, hay más presión por debajo, donde la velocidad es menor, que por arriba.
Pero, si así fueran las cosas, ¿cómo es posible el vuelo invertido de los aviones?

Escuadra en poste
A veces se ven en los suburbios postes de distribución de energía eléctrica cuyo cable de sujeción debe anclarse muy cerca de la base del poste (por falta de espacio), donde tira con un ángulo poco favorable. Se agrega entonces una escuadra que aumenta el ángulo del cable en la parte superior, así con igual fuerza se ejerce un mayor momento. Pero esa solución determina que la parte del cable que está por debajo de la ménsula ejerza una fuerza con una componente opuesta al fin perseguido. ¿Es realmente útil ese recurso, o se trata de un error de diseño?

Tubos de calor El material ordinario de mayor coeficiente de conducción que se conoce es la plata, de unos 400 J/m.s.K. Una varilla de ese material de 1 cm² de sección y 1 m de longitud, sometida a una diferencia de temperatura de 300 K, transmitiría sólo 12 watts de potencia. ¿Cómo construir un cuerpo del mismo tamaño y forma que conduzca, también pasivamente, una potencia cien veces mayor?

Medición directa de la velocidad Las mediciones directas consisten en comparar la cantidad que se desea medir con otra elegida como unidad; por ejemplo cuando medimos una distancia con nuestros pasos. Una medición indirecta, en cambio, utiliza unidades de magnitudes diferentes; por ejemplo cuando medimos el área de un terreno a partir de la medición de sus lados, y multiplicamos las medidas. Una medición directa del área se basaría, en cambio, en la cantidad de veces que cabe una alfombra de un paso cuadrado en el terreno. ¿Son equivalentes las áreas medidas con esos dos procedimientos?
¿Qué procedimiento habría que emplear (aunque sea en teoría e independientemente de sus dificultades prácticas) para medir directamente una velocidad? (El procedimiento indirecto más conocido consiste en medir distancias y tiempos, y hacer el cociente.) Y una pregunta más, cuya respuesta puede resultar curiosa ¿Cuál sería la velocidad de la luz, con esa manera directa de efectuar su medición?

Fotón hacia arriba Si arrojamos una piedra hacia arriba, su velocidad va disminuyendo con la altura, de modo que la suma de sus energías cinética y potencial se mantenga
constante si no hay rozamiento. Pero ¿qué ocurre si, en vez de una piedra, arrojamos hacia arriba un fotón? ¿Disminuiría su velocidad mientras asciende, en abierta violación del postulado relativista que establece que la velocidad de la luz en el vacío es siempre la misma? Y, si su velocidad se mantiene, y dado que un fotón tiene energía y por tanto también tiene masa (según E=mc²), ¿significa que esa masa adquiere energía potencial gravitatoria de la nada? ¿Violaremos, entonces, el principio de conservación de la energía con sólo apuntar una linterna hacia arriba?

Movimiento continuo con fotones A. C. de la Torre <dltorre@mdp.edu.ar> imaginó una variante de la paradoja anterior (cuya formulación básica se debe a Albert Einstein), y la comunicó el 6.Sep.99 a la lista de discusión fisica@mcye.gov.ar en los siguientes términos: Supongamos que fijamos una cierta cantidad de átomos a una correa como la de la figura. Dichos átomos poseen dos niveles de energía E1 < E2. Suponemos que los átomos excitados con la energía mayor tardan un tiempo fijo en desexcitarse mediante la emisión de un fotón que los deja en el estado de más baja energía. Si inicialmente todos los átomos de la derecha tienen alta energía, pesarán más e impulsarán las poleas para algún fin útil. A medida que los átomos energéticos (y, por tanto, pesados) van llegando abajo, se desexcitan y emiten fotones que se se pueden redirigir hacia arriba, donde los átomos se vuelven a excitar y a ganar peso. (Obviemos los inconvenientes prácticos de semejante maquinaria; éste es uno de los gedankenexperimenten de Einstein: alcanza con imaginarlos para el fin de aclarar los conceptos.)

Bote, pregunta fácil y difícil Si estamos a bordo de un bote en reposo, ¿podemos moverlo si tiramos de una soga atada a un punto fijo de la orilla, o es necesario que alguien en tierra tire de la soga? Y si atamos la soga al propio bote que tripulamos, ¿podríamos hacerlo avanzar a tirones?

Reacción por succión Richard P. Feynmann, hace unos 20 años, después de describir un regador giratorio de jardín que se impulsa por la reacción de los chorros de agua, se preguntaba si el regador giraría al revés en el caso de que, en vez de expulsar agua, la aspirase sumergido en una piscina. Hay una variante del mismo problema: en la industria a veces almacenan en botellones aire comprimido a unas 100 atmósferas. Si se descargara el aire a la atmósfera mediante un tubo débil, largo y acodado, se produciría una reacción que lo doblaría. (En la práctica el caño empieza a colear y se arranca.) Esos botellones tienen en su interior, precisamente, un tubo largo, débil y acodado que sirve para purgar el agua condensada de vez en cuando. ¿Hay riesgo de que ese caño se rompa o se doble si se abre bruscamente la válvula de drenado?

Masa enorme y peso nulo Esto es casi un acertijo: ¿Existe algún cuerpo que, al nivel del mar o a pocos kilómetros de altura, tenga una masa muy grande y un peso casi nulo?

Movimiento en un plano horizontal ¿Qué tipo de movimiento realiza un objeto colocado sobre un plano horizontal sin rozamiento, al que se le da una velocidad inicial (también horizontal) de un metro por segundo? (elijan la opción correcta).

(a)	El objeto describe un movimiento oscilatorio armónico de un período de 1 hora 24 minutos 20 segundos y una semiamplitud de 805 metros.
(b)	Ese objeto, de acuerdo con el principio de inercia, se desplaza con un movimiento rectilíneo uniforme de 1 m/s.

Pista: La Tierra es redonda.

Movimiento en un plano inclinado Si se coloca un cuerpo sobre un plano inclinado sin rozamiento y se le da una velocidad inicial, ¿puede ser que su trayectoria sea una parábola? (Pista: La palabra plano.)

Rotación y traslación ¿Puede haber un movimiento de traslación en el que todos los puntos de un cuerpo describan circunferencias, o ése es más bien el caso de una rotación?
¿Y puede existir un movimiento que sea tanto una rotación pura, como la superposición de una rotación y una traslación?

Fricción con la atmósfera Se suele decir que la fricción con el aire es la causa de que meteoritos y naves espaciales incandezcan al entrar en la atmósfera. Pero William J. Beaty, en su atractiva página Errores científicos recurrentes en los textos (http://www.amasci.com /me.html) nos dice que hemos vivido equivocados; la fricción sólo sería importante en las alas de los trasbordadores (porque se desplazan muy de perfil). El calentamiento del escudo térmico, en cambio, se debería al choque del aire contra la nariz de la nave, que se comprimiría adiabáticamente y se calentaría como lo hace el aire en un inflador. ¿Qué cálculos justifican semejante afirmación?

Las bolas de Lange V. Lange, en su libro Paradojas y sofismas físicos (Mir, Moscú, 1985) propone esta curiosa paradoja. Apoyamos una bola de hierro sobre el piso y colgamos otra idéntica del techo, de modo que ambas se encuentren a la misma altura. Les suministramos iguales cantidades de calor, sufren iguales cambios de temperatura e iguales dilataciones en sus diámetros. Entonces, una esfera sube (muy poco, es cierto) y la otra baja; una aumenta su energía potencial gravitatoria, y la otra la disminuye. ¿De dónde sale esa diferencia de energías, si el calor aportado es el mismo en ambos casos?

Energía del combustible de cohetes Un objeto de un kilogramo de masa en órbita baja tiene una energía cinética de unos 32 MJ (½.m.v², con v = 8 km/s). Medio kilo de combustible y medio kilo de oxígeno suministran una energía de unas 5.000 kcal, equivalentes a 20 MJ. ¿Cómo es posible, entonces, poner algo en órbita, si el combustible es incapaz de dar, siquiera, la energía necesaria para ponerse él mismo en órbita? ¡Ni hablemos de la carga útil, de la energía perdida en calentar los gases expulsados, o de la energía cinética de los chorros retropropulsores! ¿Se usarán combustibles especiales ultraenergéticos?

Masa inercial y gravitatoria La masa inercial es una medida de la inercia de un cuerpo, o de la dificultad para acelerarlo con una dada fuerza. La masa gravitatoria, en cambio, mide la intensidad con la que puede ejercer fuerza sobre otro. Ambas masas son proporcionales, e incluso idénticas si se las mide en unidades apropiadas. Pero, ¿qué ocurriría con la oscilación de dos péndulos de igual longitud hechos con dos cuerpos que, hipotéticamente, tuvieran igual masa inercial pero diferente masa gravitatoria? ¿Oscilarían con períodos iguales o diferentes? Notemos que en la fórmula del período del péndulo no aparece la masa, sea ésta inercial o gravitatoria:

Astronauta sumergido Si nos sumergimos en agua, notamos que el cuerpo flota aproximadamente a media agua: no emergemos ni nos hundimos. ¿Tendría utilidad en astronáutica sumergir a los viajeros (con respiradores, desde luego) para que no sufran incomodidades o daños causados por las grandes aceleraciones?

Satélite acelerado por la atmósfera Ésta es otra paradoja de V. Lange. Los satélites artificiales muy bajos pierden energía al desplazarse en la atmósfera, y terminan cayendo a Tierra. Se puede calcular que la velocidad orbital vale:
	
	Por tanto, a medida que el satélite se va acercando a la Tierra y disminuye el radio R de su órbita, aumenta su velocidad. Entonces, ¿por qué decimos que lo frena la atmósfera, si es cada vez más veloz?

Rotación absoluta Desde Galileo Galilei sabemos que es imposible detectar una traslación uniforme. Pero Isaac Newton imaginó que sería posible, con la ayuda de un balde con agua, detectar si un laboratorio usado como sistema de referencia rota o no lo hace. Simplemente, se observa la superficie del agua en reposo; en un caso adopta la forma de un paraboloide de revolución, y en el otro permanece plana. Supongamos que hay dos cuerpos aislados del resto del universo que están en reposo permanente a cierta distancia entre sí. ¿Cómo podríamos decidir si se están atrayendo, pero permanecen siempre a la misma distancia porque se encuentran en movimiento circular de velocidad y trayectorias adecuadas, o si no se atraen ni giran uno alrededor del otro?

Patrones de longitud El metro se definió alguna vez como la longitud del péndulo que bate el segundo (o sea que tiene un semiperíodo de un segundo); después, como 1/40.000.000 del meridiano terrestre que pasa por París; después como la longitud de determinado objeto (el metro patrón, conservado en un museo); después, como 1.650.763,73 longitudes de onda en el vacío de la luz rojizo-anaranjada del kriptón 86. Hoy se lo define como la longitud que recorre cualquier clase de luz u onda electromagnética en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo (un segundo es, hoy, el tiempo que insumen exactamente 9.192.631.770 oscilaciones del reloj de cesio). ¿Son equivalentes esas definiciones? Si no lo son ¿entonces se trata de magnitudes diferentes que han recibido el mismo nombre, tiempo? Y, si son patrones equivalentes, ¿por qué se los cambia? Si la elección es libre, ¿podríamos adoptar, entonces, un metro patrón de goma, o una fracción del diámetro del universo? ¿O usar, como patrón de tiempo, el ritmo cardíaco de alguna celebridad del deporte?

Universo pulsante y oruga rígida ¿Cómo podemos decidir si, cuando vemos una oruga en el jardín, es la larva la que se alarga y se acorta mientras se desplaza laboriosamente en busca de alimento o, en cambio, es el resto del universo el que se dilata y se contrae rítmicamente, mientras la longitud del irracional permanece invariante? Y una variante de la misma exacta idea: ¿Cómo decidir si la teoría de la expansión universal es correcta y lo que sucede no es, en cambio, que se estén contrayendo los patrones de longitud?

Patrones de tiempo El giro diario de la Tierra se ha ido frenando como consecuencia de las mareas, y así el año actual tiene 30 ó 40 días menos que los que tenía cuando aparecieron los primeros moluscos; precisamente algunos fósiles de esos animales permiten contar la cantidad de días de un año, a través de las sucesivas capas diarias que forma el nácar de sus conchas durante un ciclo anual. Pero, si en vez de aceptar el patrón actual de tiempo del reloj de cesio, usáramos todavía como patrón el basado en el giro terrestre que se empleaba hasta principios del siglo xx, ¿diríamos entonces que la Tierra no se frenó para nada en esos miles de millones de años, porque la Tierra siempre dio una vuelta por día? El que la Tierra se frene o no se frene por las mareas, ¿depende acaso de qué elijamos como patrón de tiempo? Y, si ese hecho sí depende de la elección del patrón, que es arbitraria, ¿cómo se explica, con el viejo patrón, que los moluscos antiguos tengan unas 400 capas en sus caparazones, y los actuales sólo 365?

Error nulo Daniel Vaccaro (UBA‑CBC) encontró que, en la Buyers' Guide (1998) de Physics Today la velocidad de la luz es de 299.792.458 m/s ± 0 m/s. ¿Cómo es posible que una medición carezca por completo de error?

Centro de gravedad de la Luna La mitad cercana de la Luna pesa más que la mitad más alejada, puesto que se encuentra más cerca de la Tierra. ¿Significa esto que el centro de gravedad de nuestro satélite natural se encuentra desplazado hacia nosotros? Así lo afirma Juan G. Roederer, en Mecánica elemental, EUDEBA, Ediciones previas, 8ª edición, 1986. Entonces, ¿es falsa la noción que impartimos en nuestras clases, elaborada por Isaac Newton, de que en el caso de esferas la ley de gravitación universal se puede aplicar con exactitud si se toma la distancia entre sus centros? ¿Habría que tomar una distancia menor?

Luna flotante ¿Por qué la Luna no se cae? Hay quienes afirman que la Luna se mantiene en su órbita gracias a que la fuerza de atracción gravitatoria es equilibrada por la fuerza centrífuga. Pero, si así fuera, entonces la suma de fuerzas sobre nuestro satélite natural sería igual a cero, y así, por el principio de inercia... ¡debería moverse en línea recta y con velocidad constante! Nada de eso sucede. ¿Cuál es, entonces, la razón por la que no se cae la Luna?

Borrador y tres ejes Si arrojamos al aire un borrador de modo que gire alrededor del eje menor del paralelepípedo, que es el de máximo momento de inercia, vemos que conserva ese eje de rotación. Lo mismo sucede si el giro se produce alrededor del eje mayor del sólido, que corresponde al de mínima inercia. en cambio, si lo hacemos girar alrededor de un eje perpendicular a los dos mencionados, el giro es inestable. ¿Qué explicación se puede dar de ese fenómeno?

Presión atmosférica espantosamente grande en un pozo Para una atmósfera isotérmica y formada por un gas ideal (sabemos que no es ése el caso), es posible deducir la siguiente expresión para el valor de la presión en función de la profundidad en un pozo:
	,

donde p es la presión a la distancia r del centro de la Tierra, r0 es el radio terrestre, g0 la aceleración de la gravedad en la superficie, y d0 la densidad del aire a la presión atmosférica. Si imaginamos un pozo que llegue hasta el centro de nuestro planeta (eso es, hoy, tecnológicamente imposible) y aplicamos esa fórmula, resulta una presión gigantesca y absurda, del orden de 10173 atmósferas. La densidad, calculada con la fórmula de Boyle y Mariotte, resultaría centenares de órdenes de magnitud más elevada que la densidad de las estrellas superdensas, la más grande del universo. ¿En qué nos equivocamos?

Presión atmosférica residual en el infinito Con un cálculo semejante al anterior se puede calcular la presión atmosférica por encima del suelo; la expresión es, en este caso,
	
	Calculado el límite cuando r tiende a infinito, resulta una presión absurdamente pequeña, mucho menor que la que corresponde a una sola molécula de hidrógeno encerrada en un recipiente tan vasto como el universo. ¿Qué es lo que no funciona?

El factor 5/7 que dejó perplejo a Galileo En sus Diálogos acerca de dos nuevas ciencias Galileo Galilei cuenta el gran trabajo que se tomó para pulir la bolita que dejaba rodar sobre un plano inclinado, también cuidadosamente pulido y forrado con finísimo pergamino. Aparentemente había una notable diferencia entre el valor esperado g.sen(a) y el que medía experimentalmente, y el sabio conseguía detectarla a pesar de lo rudimentario de los instrumentos de la época. Aparentemente, Galileo atribuyó al rozamiento la diferencia, aunque quizás alcanzó a conocer su verdadero origen. ¿Cuál es?

Dilatación anómala del agua Cuando enfriamos agua inicialmente a 20°C, su volumen disminuye, hasta que es mínimo a unos 4°C. Si la seguimos enfriando, se dilata, a diferencia de otros materiales, que siempre se contraen cuando se los enfría. ¿Cómo se sabe que esto es cierto? ¿Por qué no decimos que el material anómalo es el mercurio (y todos los materiales que se comportan como él), en vez de atribuirle al agua esa propiedad? Cuando vemos que, mientras desciende la columna mercurial, asciende la de agua, podríamos suponer con la misma justicia que la temperatura de mercurio está disminuyendo y el agua se dilata, o bien que es la temperatura de agua la que está aumentando y, mientras ello ocurre, el mercurio se contrae. ¿Cómo decidir, entonces, quién tiene razón entre el mercurio y el agua?

Imán unipolar de pirámides Si armamos un dodecaedro con doce pirámides de base pentagonal, cada una de las cuales es un imán con el polo norte en el vé_tice y el sur en la base, ¿nos quedaría un imán dodecaédrico con un solo polo sur hacia afuera, y sin ningún polo norte? ¿Obtendríamos así el tan buscado --y jamás hallado-- monopolo magnético?

Anteojos polaroides En el cine tridimensional cada ojo del espectador recibe una imagen diferente (en eso consiste la base de la percepción visual de los relieves), proyectadas por dos proyectores con filtros polarizadores cruzados. Los anteojos tienen que tener sus filtros también cruzados. ¿Cómo distinguir, con un sencillo experimento, si los filtros están polarizados verticalmente y horizontalmente, o en cambio están polarizados en diagonales cruzadas?

Carga suelta ¿Cómo gasta más combustible un camión que lleva una carga? ¿Cuando la lleva firmemente sujeta al piso, o cuando la carga está suelta? Parecería que en el primer caso tanto el motor como los frenos deberían hacer más fuerza, pero en el segundo habría pérdida de energía mecánica por rozamiento entre la carga y el piso del camión. ¿Qué conviene, entonces (aparte de lo que aconseje la seguridad y las normas de tránsito)?

TV en 3D ¿Cómo ha sido posible que se transmitieran escenas tridimensionales por TV, con la ayuda de anteojos que se vendían --o se regalaban-- en los quioscos? La pantalla de TV no da luz polarizada, y los anteojos que se empleaban para ver las escenas, según lo hemos comprobado, tampoco polarizaban la luz en absoluto.

Péndulo de Borda Si atamos un hilo a una esfera y hacemos oscilar al conjunto como un péndulo, parecería que el hilo está siempre alineado con el centro de la esfera, y así se lo supone en el cálculo que da el período de oscilación después de tener en cuenta el momento de inercia de la bola. Pero, si así fuera, sobre la esfera actuarían sólo dos fuerzas (el peso y la tensión del hilo) cuyas rectas de acción pasarían por su centro de masa. En consecuencia, no habría aceleraciones angulares. ¿Cómo se explica, entonces, que la bola rote hacia uno y otro lado, junto con el hilo, en cada oscilación?

Infinita pintura Si imaginamos la curva y=1/x desde x=1 hasta infinito, y la hacemos rotar alrededor del eje x, generamos una superficie semejante a una trompeta infinita. El área de esa superficie es infinita; así, cualquiera sea el espesor uniforme de pintura que elijamos, necesitaríamos infinitos litros para pintarla completamente por dentro o por fuera. Pero el volumen que encierra esa superficie es finito (de hecho, vale p). Entonces, nos alcanzaría una lata de cuatro litros para llenarla y, cuando la vaciemos, quedará perfectamente pintada por dentro. ¿Cómo es posible que se necesite más pintura para pintar por dentro u recipiente, que para llenarlo de pintura?

Bisabuelos Hace 20 años vivían mis dos padres; hace 40, mis cuatro abuelos; hace 60, mis 8 bisabuelos. Por tanto, hace apenas 2000 años, en pleno apogeo del Imperio Romano, vivían mis 2100 recontra retatarabuelos. Pero esa cantidad es absurda; no hay en todo el universo semejante cantidad de partículas; ni hablar de seres humanos. ¿Cómo es que los historiadores no se dieron cuenta de que había tanta gente (a la inversa, hablan de la explosión demográfica hacia el futuro y no hacia el pasado). ¿En qué nos estamos equivocando?

Dados Un tahur invita a un incauto a jugar por dinero a los dados. Ambos ponen iguales puestas, el invitado elige el dado que desea entre cuatro que se le ofrecen, y la banca elige su dado de los tres restantes. Ambos apuestan cantidades iguales, y el que saca el número más alto se lleva la puesta. Después de jugar muchas veces, el profesional acumula ganancia. ¿Cómo es ello posible, si los candidatos son libres de elegir el dado que desean? ¿No debería estar equilibrado en sus probabilidades ese juego? (Pista: Los dados tienen los siguientes números en sus caras: 111555, 222266, 333333 y 004444.)

Doce monedas Entre doce monedas hay una falsa cuyo peso difiere del de las genuinas, pero no se sabe si es más pesada o más liviana. ¿Cómo determinar cuál es la moneda falsa --y si pesa más o pesa menos que las otras-- con sólo tres pesadas de una balanza de platillos iguales? (Pista: Hay una solución muy física, si se imaginan las monedas ubicadas convenientemente en los vértices de un cubo, en el medio de sus aristas, y en el medio de sus caras.)

Espejo ¿Por qué los espejos convierten la izquierda en derecha, y no el arriba en abajo?

Mirada esquiva ¿Por qué, cuando nos miramos en dos espejos del botiquín que formen un ángulo recto, la imagen que vemos nos resulta extraña? Martin Gardner aseguró que eso se debe a que el rostro es asimétrico y el espejo en ángulo devuelve al imagen sin invertir; entonces es diferente de la que estamos acostumbrados a ver. Pero, si ésa fuera la razón, también nos debería resultar extraña una fotografía de nuestra cara, y no parece que suceda tal cosa. ¿Qué es lo que nos extraña --y a veces nos incomoda-- de nuestra imagen al derecho?

Aceite y vinagre Uno de nosotros almorzó una vez en una fonda, y notó que el aceite y el vinagre estaban alojados en la misma botella con pico vertedor. Como quiso ponerle a su ensalada bastante vinagre y casi nada de aceite, se incomodó por lo que pensó que era una mezquindad del establecimiento, y pidió que le trajeran una vinagrera y una aceitera separadas, pues no estaba dispuesto a servirse porciones iguales de esos líquidos inmiscibles, con la emulsión que resultase de agitar la botella. El encargado oyó sonriente la queja, y mostró al cliente una sencilla manera de servirse lo que quisiese de cada líquido. ¿Cómo hizo?

Desintegración del radio El período de semidesintegración del radio es de 1620 años. Supongamos que hoy hay un kilogramo de radio (hay 
smucho más). entonces, hace 1620 años había dos kilos, y hace 3240 años, había 4 kg de ese elemento. En esta línea, hace 162 millones de años (había dinosaurios, no había humanos) la cantidad de radio presente en la Tierra era de, por lo menos, dos elevado a la 105 kilogramos. No hay tanta masa en todo el universo. ¿Qué es lo que está mal en el cálculo?

Carretel Si tiramos horizontalmente con una fuerza F del hilo enrollado en un carretel de masa m que puede deslizar sin fricción sobre el piso, la aceleración del centro de masa del carretel valdrá F/m. (Habrá, también, aceleración angular, puesto que la fuerza se aplica en una recta que no pasa por el centro de masa.) Si ahora consideramos el caso en que sí existe suficiente rozamiento o agarre como para que el carretel ruede en vez de deslizar, la aceleración del centro de masa vale, según se puede demostrar,

donde J es el momento de inercia central del carrete. Notemos que, si el radio menor es suficientemente grande, el factor que multiplica a F/m puede valer más de uno; entonces la aceleración con rozamiento valdrá más, para la misma fuerza, que sin rozamiento. ¿Cómo es posible que el rozamiento ayude a acelerar el carrete, en vez de dificultarlo?

Espesor del vidrio Cuando se raja el vidrio de una ventana y viene el vidriero a tomar las medidas, vemos que usa una reglita cuyos reflejos en ambas caras del vidrio permiten saber el espesor del vidrio sin sacar un pedazo. La separación de las líneas de esa regla, ¿dependen del índice de refracción del vidrio?
 
Ultramundones de Le Sage Isaac Newton, amigo de las hipótesis corpusculares y en la búsqueda de una explicación mecánica de la gravedad, se preguntaba qué clase de partículas podrían emitir, quizá, todos los cuerpos del universo que, al chocar contra los otros, los atrajesen en vez de empujarlos. No consiguió resolver ese enigma. Otro físico, Le Sage, propuso esta curiosa idea: todo el espacio estaría surcado por multitud de partículas veloces e invisibles que marchan en todas direcciones. Esas partículas, que llamó ultramundanas, bombardean los cuerpos y los empujan por todos lados; entonces los cuerpos quedan equilibrados. Cuando hay dos cuerpos cercanos (por ejemplo la Tierra y el Sol), cada uno de ellos hace sombra de partículas sobre el otro, que se acelera entonces hacia su vecino. Ingeniosa idea, ¿verdad? Pero hay algo que falla en esa atrevida y elegante hipótesis. ¿Qué es?

Cicloide ferroviaria Un punto de la periferia de una rueda de ferrocarril recorre una trayectoria llamada cicloide, que resulta de superponer un movimiento de rotación alrededor del eje que la fija al coche, con el movimiento de traslación de dicho eje, que acompaña al tren. ¿Cuánto vale la aceleración de ese punto de la rueda en el instante en que toca el riel, es decir, en el propio vértice de la cicloide?

Parabrisas polarizados De vez en cuando se comenta en los medios --generalmente alrededor de hechos delictivos-- acerca de las conveniencias y las desventajas de permitir el uso de vidrios polarizados en los coches, que ocultan la cantidad e identidad de personas a bordo. (En algunos países se encuentra prohibida esa práctica.) ¿Cuál es la razón por la que un vidrio polarizado no deja ver de afuera hacia adentro, y sí a la inversa? (Hay un cúmulo de imprecisiones y errores en este enunciado; cumplimos en advertirlo.)

Creación de energía por dilatación El agua tiene, entre los 14 y 16°C, un coeficiente de dilatación de aproximadamente 0,0002 1/°C. Si ponemos un litro de agua en un cilindro de acero de paredes muy fuertes y gruesas y de 1 cm² de sección, el agua ocupará una columna de 10 metros de altura. Tapemos ese cilindro con un pistón, y pongamos encima un peso de 1000 toneladas. Seguidamente suministramos al agua una kilocaloría. El agua se calienta un grado, y se dilata dos milímetros. Las mil toneladas (107 N) aumentan su energía potencial gravitatoria en 107 N ´ 2´10‑3 m = 2´104 J, que equivalen a más de cuatro kilocalorías. ¿De dónde salieron las tres kilocalorías que sobran?

Esquiador y bandeja Si un esquiador baja una cuesta sin rozamiento y lleva una bandeja con un vaso lleno de agua hasta el tope, ¿cómo debe sostener la bandeja para que el agua no se derrame ni se deslice el vaso? ¿Paralela a la pista, u horizontal?

Balde colgado en un coche Si colgamos en el interior de un coche un balde lleno de agua hasta el tope, e inmediatamente hacemos maniobras bruscas como arranques, giros y frenadas, ¿se derramará el agua, o las oscilaciones del balde colgado compensarán las sacudidas del vehículo?

Fractura del agua según Galileo En sus Diálogos, Galileo cuenta cómo construyó una jeringa tapada que llenó de agua. Tiró del pistón y midió la fuerza necesaria para romper la columna de líquido y crear vacío. Supuso, entonces, que ambas partes de la columna de agua se atraían, en el momento de separarse, con una fuerza del orden de 15 libras por pulgada cuadrada. Si así fueran las cosas, ¿por qué no podemos crear un chorizo de dentífrico que cuelgue varios metros por debajo del tubo, en vez de fragmentarse a los diez o veinte centímetros? ¿Será porque el agua tiene más cohesión que la pasta, o acaso Galileo erró en su interpretación de ese hecho?

Curvas equipotenciales Hay tres alambres paralelos dispuestos como los vértices de un triángulo equilátero. Uno de los hilos tiene un potencial eléctrico de un volt, otro de dos volts y el tercero de tres volts. ¿Qué aspecto tienen las superficies equipotenciales del espacio que rodea los cables?

Navegar contra el viento ¿Es posible navegar contra el viento, o siempre tiene que haber una componente de la velocidad de la embarcación que esté a favor de la brisa? ¿Y se puede construir un carrito que ruede sobre el piso impulsado por el viento, pero que marche exactamente en contra de él?

Reloj de arena Alguien dijo una vez que la aceleración de la gravedad tiene sentido horario. Ante nuestra intriga, aclaró que se refería, naturalmente, a un reloj de arena. Bromas aparte, ¿qué indica una balanza sobre la que se apoya uno de esos relojes en el que esté fluyendo la arena? ¿Marca el peso total del reloj, hay que descontar el peso de la arena que está cayendo y no toca el vidrio ni el resto del árido?

Portazo irreversible Si dejamos las llaves dentro del coche, ponemos todos los seguros y cerramos de un portazo la puerta trasera, no podremos entrar y deberemos ir a buscar la llave de resguardo. Se trata, sin duda, de un fenómeno irreversible. Pero ¿cómo puede ser irreversible un fenómeno puramente mecánico de palancas y resortes en el que no interviene para nada la termodinámica? ¿Son irreversibles las simples leyes de Newton, cuyas expresiones se mantienen invariantes aunque se cambie t por ‑t?

Racionalizar denominadores ¿Por qué escribimos  y no ? ¿A qué obedece la costumbre de racionalizar los denominadores?

Un caso extraño de racionalización El recordado Leopoldo Varela, que fue director de Prociencia, se divertía a costa de físicos y matemáticos con esta pregunta: ¿Cómo se racionaliza la siguiente expresión? . Todos contestábamos: , pero él nos mostraba que esa respuesta es errónea. ¿Por qué?

Fuerza electromotriz en espira cerrada Un transformador tiene un bobinado primario de 10 espiras alimentado con 10 V ca. Su secundario es una única espira cerrada formada por 10 resistores de 0,1 W cada uno. La fuerza electromotriz secundaria es de 1 V, y la corriente secundaria, de 1 A. en cada uno de los resistores, entonces, tenemos una diferencia de potencial de 0,1 V.
	Supongamos que ahora conectamos un terminal de un voltímetro a la unión de dos resistores, y vamos pasando el otro terminal del voltímetro por las demás uniones entre resistores, hasta completar la vuelta. Mediremos 0,1 V; 0,2 V, 0,3 V, etcétera, hasta completar la vuelta y medir 1 V cuando ambos terminales del voltímetro estén conectados al mismo punto del circuito. ¿Cómo es posible que midamos un volt entre dos puntos que son el mismo punto? ¿Cómo puede haber diferencia de potencial en el mismo punto de un circuito?

Agua que dobla el codo ¿Es posible un movimiento irrotacional estacionario en un tubo curvo?

Rectas verticales y horizontales ¿Es cierto, como lo afirma Claudio Sánchez (autor de libros de computación y de acertijos), que todas las rectas son horizontales y algunas de ellas son, también, verticales?

Péndulo cónico V. Lange se pregunta qué ángulo forma, con respecto a la vertical, un hilo de un metro de largo del que cuelga un cuerpo que gira en un plano horizontal, en movimiento circular uniforme cuya velocidad angular es de tres radianes por segundo. El cálculo dice que el ángulo sería aquél cuyo coseno valga diez novenos. Pero... ¿existen ángulos cuyo coseno valga más de uno? Entonces, ¿qué ángulo adopta, en definitiva, el hilo del aparato de la figura?

Escalera apoyada ¿Es posible calcular todas las fuerzas que actúan sobre una escalera apoyada en la pared y en el piso? Supongamos que la escalera equivale a una barra uniforme, y que el coeficiente de rozamiento estático de la escalera es el mismo contra la pared y contra el piso. Es difícil ¿verdad? El problema queda indeterminado; hay más ecuaciones que datos. ¿Significa eso que no es posible apoyar, en la práctica, una escalera contra la pared?

Equilibrista sobre alambre delgado ¿Puede mantenerse en equilibrio un equilibrista que camine sobre un alambre tan resbaloso (o de diámetro tan pequeño) que no pueda ejercer cuplas importantes de fuerzas?

Objeto apoyado en una ranura en V Supongamos que hay un cilindro apoyado en una ranura en forma de V, con coeficiente de rozamiento m entre las superficies en contacto. Si el peso del cilindro es P, su radio es R, y el ángulo de la ranura es a, ¿cuánto vale la fuerza mínima axial necesaria para desplazar el cilindro contra el rozamiento? Éste es un problema indeterminado; faltan siempre datos. Si consideramos un ángulo muy pequeño, comprendemos enseguida que el cilindro se puede atascar en la hendidura si el ángulo es pequeño. ¿Hay modo de calcular el ángulo mínimo que evita el atascamiento? ¿Cómo se resuelven los casos en que sí existe atascamiento?

Mesa apoyada en el piso Supongamos una mesa con cuatro patas (y, si eso origina alguna confusión, que sean tres, o incluso dos) apoyada simplemente en el piso, con el que tiene un cierto coeficiente de rozamiento m. ¿Es posible que existan fuerzas de rozamiento? Y, si así fuera, ¿cómo calcularíamos su valor?

Astronauta que se da vuelta ¿Puede desplazarse un astronauta ingrávido inicialmente en reposo, sin arrojar objetos? ¿Y puede darse vuelta, con las mismas condiciones? Y si así fuera, ¿entonces no se cumple la conservación de la cantidad de movimiento angular para cuerpos aislados?

Grúa que tira de sí misma ¿Es posible que una grúa se acelere a sí misma con la aplicación de una fuerza ejercida por el cable de remolque sujeto al propio vehículo? Y, si el cable hace fuerza hacia arriba, ¿podría disminuir la fuerza con la que se aprieta un par de las ruedas contra el pavimento? Si así ocurriera, ¿se mantendría constante la fuerza con la que se aprietan las otras dos ruedas contra el suelo? Si nada de esto ocurre, ¿cómo es posible que un ciclista levante la rueda delantera de la bicicleta para subir a la vereda, con sólo pegar un tirón hacia arriba del manubrio?

Tensión mula del hilo Es clásico el ejercicio de comprensión de las leyes dinámicas que consiste en preguntarnos qué fuerza ejerce un hilo que vincula dos cuerpos que caen atados, uno arriba del otro (a veces se dan valores a las masas, para desorientar a quienes aplican fórmulas irreflexivamente). Se suele afirmar que la tensión del hilo es nula en ese caso, 'porque  los cuerpos caen con la misma aceleración'. Pero un paracaidista también cae con la misma aceleración que su paracaídas (cero para ambos, aproximadamente); sin embargo, las sogas hacen fuerza en ese caso, y esa fuerza es aproximadamente el peso del deportista. ¿Por qué el mismo argumento explica un hecho y no el otro?

Gases mezclados Aníbal Kacero se pregunta: ¿Por qué, si el nitrógeno y el oxígeno tienen densidades diferentes, aparecen mezclados por completo a cualquier altura de la atmósfera?

	Ejemplos

1. Kilogramo fuerza y kilogramo masa La masa es una medida de la dificultad para acelerar un cuerpo con una dada fuerza, y no depende de dónde esté el cuerpo, de cómo se mueva o de qué fuerzas actúen. La fuerza, en cambio, mide la intensidad de interacción entre dos cuerpos; en particular, si uno de ellos es la Tierra, a esa fuerza se la llama peso. El peso de un cuerpo de un kilogramo de masa es, en la superficie de la Tierra, de un kilogramo de fuerza.
	Rosana Aristegui (UBA-CBC) utilizó una vez el siguiente argumento para aclarar a sus alumnos la diferencia entre esas dos unidades. Señaló que la velocidad de marcha de todas las personas es aproximadamente la misma, entonces resulta natural referirse a las distancias en términos del tiempo que se tarda en recorrerlas a pie, sobre todo en el campo, o en la antigüedad, sin otros medios de transporte que la caminata. La expresión 'a dos horas de aquí' tenía, en ese contexto, un perfecto sentido, aunque fuera aproximado; todos entendían que se trataba de unos diez kilómetros. Pero ¿qué sucedería si unas personas usan motocicleta, otras van en avión y otras a pie? (Ella había usado también hormigas como ejemplo.) La expresión dejaría de tener sentido, pues sólo vale mientras todos marchen a velocidades semejantes. Del mismo modo, podríamos medir los tiempos en unidades de distancia, como cuando decimos, en un viaje muy largo en automóvil, 'Hace 120 kilómetros que quiero ir al baño.'
	Con el peso y la masa sucede algo semejante. Todo cuerpo que tenga una masa de un kilogramo, pesa un kilogramo en nuestro planeta. Mientras nos encontremos siempre en su superficie, resulta indistinto referirse a una u otra de esas dos magnitudes diferentes, puesto que si se conoce una, se sabe inmediatamente cuál es la otra. Ahora, si nos vamos a otro planeta (o al centro del propio), las cosas cambian y ya no es posible hacer la identificación acostumbrada, del mismo modo en que decir 'a dos horas de aquí' tendría segnificado muy diferente para una gacela y un caracol.
	El intento de ponerles a estas unidades nombres muy diferentes (como kilopondio para el kilogramo fuerza) creemos que aumenta la confusión en vez de resolverla; por el contrario, parece útil buscar más ejemplos de magnitudes diferentes pero estrechamente relacionadas entre sí. Tal es el caso de la medición de distancias en millas (cada milla abarca un minuto de ángulo sobre un meridiano terrestre). Otros ejemplos son expresar la energía en electrón volts, la distancia en años luz o en parsecs (un parsec o paralaje‑segundo es la distancia que hace que una estrella parezca correrse un segundo de arco cuando se la observa con seis meses de diferencia).

2. El peso del aire El experimento propuesto parece inadecuado para demostrar que el aire pesa. El desbalanceo de la percha es sólo una sacudida que se originaría en la reacción del aire expulsado del globo cuando se lo pincha. En rigor, podría registrarse una muy pequeña diferencia debida a que el aire dentro del globo está levemente comprimido y, por tanto, tiene mayor densidad que el aire circundante; entonces el volumen interno de aire tiene una masa algo mayor que la del aire atmosférico desplazado, pero esa diferencia parece pequeña como para que se la pueda registrar de modo tan tosco.
	Para poner en evidencia el peso del aire, habría que pesar dos botellas rígidas, una con aire a presión, y la otra con aire a la presión normal, o incluso enrarecido; la rigidez de los recipientes aseguraría que el empuje flotacional de la atmósfera es el mismo en ambos casos.
	Se puede ofrecer la siguiente variante experimental para aclarar ese punto: imaginemos unos seres inteligentes que viven en medio acuático y que dudan acerca del peso del agua. Llenan dos globos de agua, y los cuelgan de una percha. Inmediatamente pinchan uno de los globos. ¿Se desbalancearía esa improvisada balanza como si se colgaran varios kilogramos de uno solo de sus brazos? No, naturalmente; permanecería en equilibrio (con más razón que antes, debido a que el agua es prácticamente incompresible, a diferencia del aire).

	Es siempre útil aclarar el concepto de peso cuando se efectúa esta discusión (el peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra, que no siempre es igual a la fuerza con la que lo sostiene el suelo). Galileo llegó a decir, al hablar de los daños que sufren las ballenas fuera del mar, que 'el agua no pesa en el agua.' Se refería, al parecer, no a la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre cualquier porción de agua (idea posterior y newtoniana), sino a la fuerza con la que apoya un cuerpo en equilibrio sobre una superficie. Un globo lleno de agua apoyaría con una fuerza muy débil sobre el fondo de una pileta llena, y no con una fuerza igual al peso del agua contenida en el globo, por eso Galileo decía que no pesa. Aceptada la idea moderna de peso, el globo inflado con aire pesa más que el pinchado, pero la fuerza que hacen esos cuerpos sobre la percha es p_ácticamente la misma y, si hay un desbalance, sería insignificante, por ser muy escasa la compresión del aire dentro del globo.

3. Medición directa de la velocidad Los dos métodos de medición de áreas sólo son equivalentes en el plano, pero no coinciden en una superficie curva, donde el producto del largo por el ancho puede dar mayor área, o menor, que la que realmente se cuenta al cubrir la zona con pequeños rectángulos. (Por ejemplo, un triángulo trirrectángulo trazado sobre la superficie de la Tierra entre el polo norte, una localidad ecuatorial en el meridiano cero, y otra también ecuatorial en el meridiano 90°, tendría una superficie de 4pR²/8 » 1,571 R², donde R es el radio terrestre. Pero la superficie de ese mismo triángulo calculada con la fórmula b.h/2 vale 2p.R/4.2p.R/4/2 » 1,233 R².)
	La velocidad medida directamente como se propone (con superposición de plataformas que guarden entre sí una velocidad relativa unitaria) sería equivalente a la que se obtiene al dividir distancias por tiempos sólo si el espacio tiempo fuera 'plano', o sea recto o euclídeo. En otro caso, como el real, se obtienen medidas diferentes.
	Por ejemplo, según la teoría especial de la relatividad, ningún cuerpo puede superar la velocidad de la luz. Así, si encaramamos una sobre otra una infinidad de plataformas que se muevan con velocidad unitaria, cada una con respecto a la que tiene debajo, y si la velocidad unitaria fuera de un metro por segundo, cuando apilemos mil millones de plataformas (esto es una idealización que no cuenta las dificultades prácticas), la plataforma de más arriba no se desplazará a un millón de kilómetros por segundo, sino a una velocidad algo inferior a los 300.000 km/s, que es la de la luz.
	Tenemos entonces que, con este método que se ha imaginado para medir velocidades en forma directa, la velocidad de la luz sería... ¡infinita! Y, aunque resulte extraño, y desde esa definición, un fotón que se mueve con velocidad infinita, recorre 300.000 kilómetros por segundo.

Bibliografía (e infografía)

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Levy-Le Blond, La física en cuestiones, Salvat, Buenos Aires, 1983.
Juan Roederer, Mecánica elemental, EUDEBA (Editorial Universitaria de Buenos Aires), 1960.
Sears, Francis Weston, Termodinámica, Reverté, Barcelona, 1983.
Sears y Zemansky, Física general, Aguilar, Madrid.
P. Tipler, Física, Reverté, Buenos Aires.

Acreditación La aprobación del Taller requiere la elaboración escrita de la respuesta a uno cualquiera de los temas propuestos (u otro que sea aprobado por los coordinadores). Ese trabajo se presentará el antepenúltimo o penúltimo día, y será aprobado, observado o desaprobado. En el último caso, se corrige y se entrega el mismo día o el siguiente. En el supuesto de que el trabajo se presente en grupo, cada integrante entregará un fragmento de elaboración propia y personal (aunque haya consultado a otros), relacionado con la tarea realizada en su equipo. Todos los miembros de un grupo conservarán una copia del trabajo conjunto, sea en papel o en otro soporte de información, y tomarán nota de las observaciones anotadas en el original.