Théorie des ensembles

Réunion

A È B = {x : x Î A ou x Î B}

Intersection

A Ç B = {x : x Î A et x Î B}

Complémentaire

 = {x : x Î W et x Ï A}

Complémentaire relatif

 ^B = {x : x Î B et x Ï A}

= B \ A (différence)

Différence symétrique

A D B = (A È B) \ (A Ç B)

Loi idempotente

A È B = A

A Ç B = A

Loi associative

(A È B) È C = A È (B È C)

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

Loi distributive

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

Loi d’identité

A È Æ = A ; A È W = W

A Ç Æ = Æ  ; A Ç W = A

Loi de complémentarité

A È  = W

A Ç  = Æ

Loi de Morgan

.

A È B = A Ç B ; A Ç B = A È B

a , une famille d’ensemble est une partition de X

1. " A Î a , A ¹ W
2. " A, B Î a , A Ç B = W
3. È A = X

Recouvrement

On enlève le 2)

a tribu

1. A Î a Þ  Î a
2. La réunion d’un nombre dénombrable (fini si W est fini) quelconque d’éléments de a appartient à a

Analyse combinatoire

Permutation

0 ! = 1

1 ! = 1

n ! = 1 * 2 * … * (n-1) * n

Arrangement

A(n, p) = n ! ;

(n – p)!

Combinaison

C(n, p) = n ! ; = A(n, p)

p! . (n - p)! p !

C(n, 0) = 1

C(n, p) = C(n, n - p)

C(n, n) = 1

C(n, 1) = n

Formule de Pascal

C(n, p) = C(n-1, p-1) + C(n-1, p)

1 Triangle de Pascal : 10 + 5 = 15

1 1 C(5, 3) + C(5, 4) = C(6, 4)

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Binôme

de

Newton

_n

(a + b)ⁿ = å C(n, k) . a^k . b^(n-k)

^k=0

Notions élémentaires

Triplet fondamental

W  : Ensemble fondamental

a  : Famille (ensemble) de parties de W

P : Mesure de probabilité sur a

P est une 

mesure de probabilité

1. " A Î a , 0 £ P(A) £ 1
2. P(W ) = 1
3. Si (An) est une suite d’événement de a deux à deux incompatibles P(å An) = å P(An)

Propriétés d’un espace probabilisé

1. P(Æ ) = 0
2. " n, P(å An) = å P(An)
3. P( ) = 1 – P(A)
4. A Í B Þ P(A) £ P(B)
5. P( ^B) = P(A) – P(A Ç B)
6. P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

Espace probabilisé fini

P(A) = å pi

Espace probabilisé fini équiprobable

P(A) = | A | / | W |

Espace probabilisé

infini

• Si W est dénombrable, idem EPF
• Si W est indénombrable, W possède une mesure géométrique m et P(A) = m(A) / m(W )

Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle

P(B/A) = P(B Ç A) / P(A)

Théorème de probabilités composées

P(A₁ Ç … Ç A_n) = P(A_n / A₁ Ç … Ç A_n-1) * … * P(A₂ / A₁) P(A₁)

A_n est un

système

complet

1. A_i Ç A_j = W avec i ¹ j
2. P(å A_i) = 1

Théorème

de

Boyes

Soit (An) un système complet tq " i, P(Ai) > 0, alors pour tout événement B, on a :

• P(B) = å P(B / An) * P(An)
• Si P(B) > 0, P(A_k / B) = ( P(B / A_k) * P(A_k) ) / (å P(B / A_n) * P(A_n) )

Exclusion

Si A et B s’exclut mutuellement P(A È B) = P(A) + P(B)

Indépendance

A et B sont indépendants si P(A Ç B) = P(A) . P(B).

Cela entraîne :

• P(B / A) = P(B)
• P(A / B) = P(A)

Variable aléatoire

Distribution ou loi de probabilité de X

Soit X(W ) = {x1, x2, …, xn}, P(X = xi) = f_x(x_i).

1. f_x(x_i) ³ 0
2. å f_x(x_i) = 1

Espérance mathématique

noté E(X) ou m _x

E(X) = å x_i . f_x(x_i)

Propriétés :

1. E(kX) = k E(X)
2. E(X + k) = E(X) + k
3. E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Variance

Var(X) = å (x_i - m _x)² . f_x(x_i) = E((X - m _x)²) = E(X²) – E(X) ²

Propriétés :

1. Var(kX) = k² . Var(X)
2. Var(X + k) = Var(X)

Ecart-type

s (X) = Ö Var(X)

Propriétés :

1. s (kX) = | k |. s (X)
2. s (X + k) = s (X)

Loi de probabilité produit

Définitions :

• Les fonctions f(x_i) et g(y_j) sont les lois de probabilité marginales de X et Y et sont respectivement égales à la somme en ligne et la somme en colonne
• Cov(X,Y) = å (x_i - m _x) . (y_j - m _y) . h(x_i – y_j) = E_X,Y ((X - m _x) . (Y - m _y))
• La corrélation de X et Y vaut r (X,Y) = Cov(X,Y) / (s (X) . s (Y))

Propriétés :

• r (X,Y) = r (Y,X)
• -1 £ r (X,Y) £ 1
• r (X,X) = 1 et r (X,-X) = -1
• r (aX+b,cY+d) = r (X,Y) si a et c ¹ 0

Variables aléatoires indépendantes

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes

• E_X,Y = E_X (X) . E_Y (Y)
• Var_X,Y (X + Y) = Var_X (X) + Var_Y (Y)
• Cov(X,Y) = 0

Variables aléatoires discrètes

Idem VAF

Variables aléatoires continues

• P(a £ X £ b) = ò _a^b f _x(x) dx. On a " x f(x) ³ 0 et ò _-¥ ^+¥ f(x) dx = 1
• E_X (X) = ò 3 f (x) dx
• Var(X) = ò 3 (x - m _x )² f(x) dx = ò 3 x² . f(x) dx - m _x ²
• s (X) = Ö Var(X)

Inégalité de Tchebycheff

Soit X une V.A. alors " e > 0, P(|X - m _x | ³ 0) £ s (X) ² / e ²

Distributions

Binomiale B(n,p)

• P(X=k) = C(n, k) . p^k . q^n-k
• E(X) = n . p
• Var(X) = n . p . q

Normal

N(m ,s )

• Densité f(x) = (1 / s Ö 2P ) . e^{-(x-m ) 2 / 2s 2}
• Espérance = m
• Variance = s ²

Poisson

P(k,l )

• P(X = k) = e^-l . (l ^k / k !)
• Espérance = l
• Variance = l