§ 2. Уравнение Эйлера.   Gorskin Dmitri

 

Оно выведено Л.Эйлером в 1755 г для идеального газа.

Полная сила действующая на выделеный объём , равна интегралу:

 

взятому по всей поверхности рассматриваемого объёма. Преобразуем его в интеграл по объёму:

 

То есть на каждый объём dV  действует со стороны окружающего его газа сила – grad p.

Уравнение движения для движущегося в пространстве

бесконечно  малого обьема:

 

Cлева записано произведение массы единицы бесконечного объема жидкости, умноженное на ускорение. Эта сила инерции. С такой силой будет давить на динамометр объём, после того, как на него подействовала сила, равная по модулю   grad p.

Производная слева   не определяет изменение скорости среды в заданной неподвижной точке пространства. Она равна ускорению передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Выразим эту производную через величины, связанные с координатами  в  пространстве. Изменение скорости данной частицы жидкости в данной точке равна сумме изменения скорости в даной точке в течение времени dt и из разности скоростей в одно и тоже время в двух точках, находящихся на расстоянии dr, пройденных частицей жидкости за время dt. Или по другому. Через время dt  капля перелетела  расстояние dr. Можно сказать, что  ускорение капли, относительно первой покинутой точки,  равна изменению ускорения среды в первой точке за время dt, плюс разница в ускорении между первой и второй точкой в одно и тоже время.

(Другое объяснение. Пусть текущая жидкость  на расстоянии dr упала на землю, ее скорость cтала равна нулю. Если бы cкорость жидкости в первой  точке пространства не менялась и не менялась бы от времени, то ускорение среды в первой точке относительно второй на расстоянии dr  равно значению ускорения, которое бы испытывала частица в течении времени dt, то есть ускорение свободного падения .)

Первая величина ускорения равна , её значение  берётся для неподвижной  точки среды.

Вторая величина равна по правилу дифференцирования сложной функции:

 

 

Из соотношения (2.1) видно, что:

 

                 (2.2)

 

Если среда находиться в поле тяжести, то на каждый  элемент объёма действут сила равная произведению плотноcти на ускорение свободного падения g .

Уравнение Эйлера имеет вид:

Для краткости я буду опускать значки векторов.

        (2.3)

Чем больше значения ускорения свободного падения и чем больше перепад давления, тем больше ускорение частицы жидкости.

При выводе не учитывались сила  вязкого трения и эффекты теплопроводности и теплообмена между разными элементарными объёмами,так как расматривается движение идеальной среды (газа или жидкости).

Если не учитывать процесс  теплообмена среды с внешними соприкасающими телами (например с трубой по которой она течёт), то считают, что  течение адиабатическое.

            Так как значение адиабаты постоянно во всем объёме среды, значит:

       

 

Встречается более простой случай, когда энтропия постоянна и одинакова во всём объеме среды.Такое течение называют изэнтропическим.

            Можно упростить уравнение Эйлера.Так как s = const, значит di = Tds + Vdp = Vdp;

i - тепловая функция среды (энтальпия), T – температура,   - удельный объём. Значит:

Получим  уравнение Эйлера:

Для описания течения жидкости нужно использовать ещё уравнение неразрывности, уравнение адиабатичности,  граничные и начальные условия на стенках, ограничивающих среду. На  стенке должна быть равна нулю нормальная компонента скорости, то есть жидкость не должна вытекать через стенку.Но если есть вдув или отсос газа, то эта скорость имеет конечное значение.Если стенка движется, то скорость должна быть равна ссответситвующей скорости поверхности.

            На границе двух несмешивающих жидкостей должны быть равны давления и нормальные компоненты скорости  движения границ раздела обоих сред. Если налить в стакан воду и масло, можно видеть, когда это предположение не справедливо.