Función de Producción del tipo Cobb-Doublas con dos insumos K y L, con a + b < 1, y como opera en mercados competitivos de insumos y producto: Pk, Pl y P son valores dados.
En el parcial supuse que A era igual a uno para simplificar los cálculos. En esta oportunidad vamos a permitirle a A que sea un numero cualquiera mayor que cero.
a)Demandas condicionales de los insumos:
Vamos a minimizar costos sujetos a un nivel dado de producción.
Condiciones de primer orden:
Dividimos la condición de primer orden (1) por la condición de primer orden (2) y obtenemos:
Por lo tanto de esta igualdad podemos despejar primero L y luego K para obtener:
Para obtener la demanda condicionada del K debo reemplazar la ecuación (5) en la tercera condición de primer orden (3), para luego despejar K obteniendo lo siguiente:
Para obtener la demanda condicionada del L debo reemplazar la ecuación (6) en la tercera condición de primer orden (3), para luego despejar L obteniendo lo siguiente:
Las ecuaciones (7) y (8) muestran la cantidad de capital y trabajo, respectivamente, que minimizan costos, dado un nivel de producción.
Podemos observar en las ecuaciones (7) y (8) que si el precio del trabajo sube (Pl) en relación con el precio del capital (Pk), la empresa utilizará más capital y menos trabajo. También se puede afirmar que si A aumenta debido a un cambio tecnológico (por lo que la empresa puede producir más con los mismos factores), disminuyen tanto K como L.
b)La función de costo medio:
He mostrado cómo puede utilizarse la minimización de los costos sujeta a una restricción de la producción para averiguar la combinación óptima de capital y trabajo de la empresa. Ahora averiguare la función de costos de la empresa. El costo total de obtener cualquier nivel de producción puede hallarse sustituyendo en la ecuación (9), K y L por sus valores de las ecuaciones (7) y (8):
Como el término que está entre llaves es una constante la podemos reemplazar por:
Por lo tanto la función de costos queda definida como:
Esta función de costes nos dice cómo aumenta el coste total de producción cuando aumenta el nivel de producción q y cómo varían los costos cuando varían los precios de los factores. Cuando a +b es igual a 1, el costo aumenta proporcionalmente con la producción, lo que significa que el proceso de producción muestra rendimientos constante a escala. Asimismo, si a +b es mayor que 1, hay rendimientos crecientes de escala y si es menor que 1, hay rendimientos decrecientes de escala.
Para hallar la función de costos medios debemos dividir la función de costos totales (10) por q.
c) Demanda de Insumos Incondicionadas:
Las demandas de insumos por parte del empresario se derivan de la demanda subyacente del bien que este produce. Las funciones de demanda de insumos se obtienen resolviendo las condiciones de primer grado de (12) y expresando K y L como funciones de Pk,Pl y P.
Condiciones de primer orden:
Si divido la condición de primer orden (13) por la segunda (14) obtengo:
Luego despejo primero K y por último L obteniendo:
Remplazo (15) en (14) y despejo L obteniendo la demanda incondicionada del trabajo, donde d =1-a -b :
Remplazo (16) en (13) y despejo K obteniendo la demanda incondicionada del capital, donde d =1-a -b :
d)Interpretación del lamda óptimo:
Existen diferentes caminos para probar que el lamda optimo es igual al costo marginal. En el parcial debido a una restricción del tiempo utilice la demostración más sencilla, la cual es una simple consecuencia del teorema del envolvente. Derive parcialmente C* respecto de q en la ecuación (0) y obtuve:
Donde la derivada parcial de C* con respecto a q no es ni más ni menos que el COSTO MARGINAL.
Ahora debido a que dispongo de más tiempo demostraré que el lamda optimo es el costo marginal pero por otro camino.
Por definición:
Esto es el costo mínimo para cualquier nivel de producción q (y precios de los factores K y L). Es obtenido a partir de sustituir dentro de la expresión del costo total, C = PkK + PlL, los valores de los insumos que fueron derivados de la minimización de costos anteriormente.
Ahora diferenciamos C* parcialmente respecto de q en la ecuación (19):
Sin embargo, de las condiciones de primer orden (1) y (2) sabemos que:
Sustituyendo (21) y (22) en (20) y sacando factor común l * obtengo:
La expresión que se encuentra entre paréntesis debe ser igual a 1, tal como lo muestra la identidad (25). Remplazando las demandas de los insumos optimas en la tercera condición de primer grado se obtiene:
Diferencio esta identidad respecto de q obteniendo:
Por lo tanto he demostrado por otro camino que: