Tema 1.- L’anàlisi quantitativa en les ciències socials.

Quantitaiva fa referencia a treball amb dades numèriques, és conegut com estadística.

Què és estadística? És la ciència que ens permet extreure informació a partir de dades numèriques. Les dades pertanyen a un context.

Per exemple:

1. l’atur masculí en 16 provincies espanyoles és inferior a la mitjana de la UE.
2. En moltes provincies l’atur és alt perquè es femení. A aquestes dades s’arriba a partir de l’EPA, que es fa periódicament.
3. Catalunya viu un any negre a les carreteres.

En el primer cas s’estudia a les persones, i en el segon els accidents. Un element important a l’estudiar amb estadística és els individus o unitats. És element del nostre interés.

La variable estadística és la característica en estudi de cada individu, per exemple en el primer cas estar o no estar en l’atur.

Població estadística i mostra

Població estadística conjunt d’individus que són motiu del nostre interés, en estudi. Sobre els que volem conèixer una cosa, per exemple estudiants de sociometria del curs 98/99, té 65 individus.

Mostra és una part de la població. Ha de ser representativa perquè recollís la població en petit.

Variabilitat i incertesa

És la raó, el perquè de l’estadística. Perquè ningú és igual.

Fases en un treball estadístic

S’elavora un informe de decisions.

Tipus de dades

Censals u de tota la població, o totes les ETT de Catalunya.

De tall transversal u moltes empreses en un moment concret.

De tall longitudinal u en una empresa l’inversió en maquinaria durant 10 anys.

Segons com han estat generades:

Dades obsevacionals u l’observador investigador és passiu. A vegades tenen una confussió d’efectes.

Dades experimentals u es pren part activa, es provoquen les dades/respostes. Per veure la relació causa efecte deixant de banda les possibles confussions.

Variables estadístiques

• Qualitatives è atribut de l’individu, per exemple, color del cabell, color dels ulls… també són anomenades categòries o nominals:
• • Nominals propiament: no hi ha ordenació possible.
  • Ordinals: permanent una ordenació, per exemple m’agrada, no m’agrada…
• Quantitatives è també anomenades numériques, aquelles que són el resultat de contar o de medir:
• • Discretes: és el recompte, nombres enters, per exemple, soldats en cada punt, nombre de fills per familia.
  • Continues: pot prendre qualsevol valor en un ventall, una mesura, per exemple temperatura en cada punt, alçada.

Tema 2.- Dades i variables estadístiques: tipus de dades, tipus de variables.

Organització i descripció de daes: gràfics i taules

Per exemple:

Procedencia Freqüencia absoluta Freqüencia relativa

Tant per u Tant per cent

1 3 3/30 = 0’1 10%

2 20 0’67 67%

3 0 0 0%

4 1 0’03 3%

5 6 0’2 20%

TOTAL 30 1’00 100%

Objectius conèixer el que es sap d’Estadística

Variable estadística procedencia (codificada) és qualitativa nominal propiament.

Per tenir més clares les idees ordenem segons la seva freqüencia.

Diagrama de barres

Lleganda:

1.- Mates I COU

2.- Mates II COU

4.- LOGSE, ciencies socials

5.- FP

Diagrama de Pareto (ordenades segons freqüencia)

Diagrama sectorial

Barres i Sectors serveixen per les variables simples, qualitatives.

Diagrama per variables quantitatives (o numèriques).

Diagrama de punts (Dot diagrame)

Per exemple, nombre de dies que cada pacient sobreviu a un transplant: 15, 3, 46, 623, 126, 64.

0 100 200 300 400 500 600 700 800

supervivencies en nombre de dies.

La majoria no pasa dels 100 dies. 625 és una dada extrema/valor extrem (oulier) en aquest colectiu.

Diagrama de tronc i fulles

Per exemple, notes d’un grup classe (valors possible 0-100)

27, 50, 33, 25, 86, 25, 85, 31, 37, 44, 20.

2.  
3. 7550 No es perd informació perquè es mantenen les dades originals,
4.  
5. 317 i es guanya en ordenació i informació.
6.  
7. 4
8.  
9. 0 S’utilitza quan es tenen poques dades, i és molt útil en
10.  
11. comparacions. Es fan fulles per les dos bandes.
12.  
13.  
14.  
15. 65

2 0557 La columna de l’esquerra és el Grup B, i el de la dreta el Grup A.

832 3 137 El B és més regular. El A té més dades extremes. Hi ha més diversitat.

7500 4 4

71 5 0

2 6

7

Freqüencia acumulada u és la suma de les freqüencies absolutes de tots els valors anteriors incloent aquest. Es van sumant les freqüencies absolutes incloent la mateixa.

Absoluta Acumulada

1ª 1ª

2ª 1ª + 2ª

3ª 1ª + 2ª + 3ª

Té sentit en les variables numèriques, i en algunes que no ho són. Sempre que té alguns tipus d’ordenació, per exemple molt d’acrod, d’acord…

Exercici

# fills familia freq. absoluta freq. relativa freq. acumulada freq. rel. acum.

1 10 10/55 = 0’18 10 0’18

2 25 25/55 = 0’45 35 0’63

3 13 13/55 = 0’24 48 0’87

4 7 7/55 = 0’13 55 1’00

55. 1.  
    2. 1’00

Histograma de freqüencies

Barres enganxades i la variable en estudi sigui numèrica.

El nombre de classes, intervals, no té cap norma.

Els gràfics de població, piràmides d’edats és un histograma, la variable és l’edat.

Variable discretes i moltes dades. S’agrupen i es fan histogrames. Es fan intèrvals que dona la Å de la quantitat i de dades, de 100, Å 100 = 10 intèrvals.

Gràfic de freqüència acumulada o polígon de freqüència acumulada, construit a partir de les freqüències acumulades de cada valor o classe de la variable.

Unitat u dona resposta a preguntes de freqüencia acumulada.

Tema 3.- Descripció de dades: gràfics (de tronc i fulles, histogrames, diagrames de caixa…), taules de freqüència, quartils…

Mesures de centre: moda, madiana i mitjana

Mesures de cente, aquelles que ens donen idea d’on està el centre de la distribució, són:

Moda el valor que més es repeteix, el valor que té la freqüència més alta. Té sentit en qualsevol variable.

Mitjana (media aritmética, mean or average), és la suma de les dades partit pel nombre de dades.

Per exemple la variable de nombre de dies de supervivència, del Tema 2:

Mitj = 3+15+64+623+46+126 / 6 = 146’2 dies.

Hi ha una mitjana inflada per una dada superior, 623 és una dada amb influència en el càlcul de la mitjana.

La mitjana també és: el valor * freqüència relativa / # total de dades. Són anomenades mitjanes ponderades, cada part que multiplica el valor s’anomena pes.

Exemple, nota de sociometria = pràctica 15% (0’15) + parcial 20% (0’20) + final 65% (0’65)

La suma dels pesos ha de ser 100% (1’00).

La desviació respecte de la mitjana

És: valor – mitjana. Per sumar les desviacions s’ha de multiplicar per la freqüència cada desviació, i el resultat sempre ha de ser 0.

Mediana

És aquell valor de la variable que un cop ordenades les dades deixa la meitat de les dades per sota i l’altra meitat per damunt.

Per trobar la mediana d’un conjunt de dades numèriques primer les hem d’ordenar, i es tracta del valor que las parteix en dos.

Per exemple de: 3, 7, 8, 10, 15 la mediana és 8.

Quan el nombre de dades és senar, és el nombre que es troba en el centre.

Per exemple de: 3, 7, 8, 10, 15, 21 la mediana és u 8+10 / 2 = 9

Si hi ha moltes dades:

Suposem "n" nombre de dades (ordenades)

0’5 * n =

•  
• decimal à prenem l’enter següent (K), la mediana és la dada que es troba en el lloc K.
•  
• Enter (K) à és la semi-suma entre la dada del llo K i la del lloc K+1.

La mediana és important perquè és una mesura de centre robusta en vers a les dades extremes. No afecta perquè la dada extrema sigui gran.

La mitjana és una bona mesura de centre quan la distribució és simètrica.

Però la mediana és més recomanable quan la distribució és més asimètrica.

Quartils

Q₁, Q₂ = mediana, Q₃

Divideix la distribució en 4 parts iguals.

Q₁ (el primer quartil) el primer valor de la variable que deixa el 25% de les dades per sota d’ella i per damunt el 75%

Q₂ = mediana

Q₃ deixa per sota el 75% i per damunt el 25%

Càlcul de quartils

Per exemple, amb 50 dades:

Q₁ 0 = 0’25 * 50 = 12’5 u K = 13 és la dada que està al lloc 13

Q₃ = 0’75 * 50 = 37’5 u K = 38 és la dada que està al lloc 38

Els 5 valors de posició

Mínim

Q₁

Q₂ / Mediana

Q₃

Màxim

Aquests 5 valors ens donen una descripció de les dades. El Rang = Màxim – Mínim.

Ran interquartílic (RIQ)

Q₃ – Q₁ diu que el 50% de dades es mouen en aquest interval de dades, i és el 50% central de dades.

Diagrama de caixa

Entre cadascún d’aquests valors es troba un 25% de dades. En els espais més petits hi ha la mateixa quantitat de dades que en els es pais més amples, perquè en els més petits estan més concentrades aquestes dades.

Percentils

Percentil 10, és el que deixa per sota un 10% de les dades i per damunt un 90%.

Es calcula igual que els quartils, P10 = 0’10 * 50 = 5 u K = 5, per tant serà el valor de 5+6/2.

Comparació entre mediana i mitjana

• La mitjana és útil en distribució simètriques.
• En el càlcul de la mitjana influeix les dades extremals.
• En canvi la mediana no es veu afectada per dades extremals: direm que la mediana és una mesura de centre robusta envers les dades extremals.

1 4 4 6 10 / 1 4 4 6 100

med med

• Si la distribució és simètrica mitjana i mediana no defineix gaire.
• La mitjana és aquell punt d’equilibri de la distribució que compensa les desviacions positives amb les negatives. La suma de desviacions envers la mitjana es zero.
• La mediana aprteix de distribució en dos àrees.
• La mitjana conserva la informació sobre suma total de les dades.

Mesures de centre:

Moda, mediana, mitjana

Mesures de dispersió:

• Els cinc estadístics en el cas en que treballem amb la mediana. s²
• La variància i la desviació estàndard si treballem amb la mitjana.

La variància i la desviació estàndard (o típica) n dades

x₁ + x₂ +…+ x_n n dades

Variànca es representa amb s²

La desviació estàndard és:

Es divideix per n-1 quan es treballa amb una mostra.

Propietats de la desviació estàndard:

• la desviació estàndard són mesures de la dispersió al voltant de la mitjana. Les dades grans separades de la mitjana.
• sempre es positiu, s = 0 quan tots el valors siguin iguals.
• en la majoria de les distribucions les dades es troben com a molt a tres desviació estàndard de distància de la mitjana.

La desviació stàndard és útil quan donsguem mesura de centre la mitjana.

s = 0’7 El 0’7 es un valor entre mig de les desviacions de les dades.

s = 1’5

Les dades extremes també influeixen en la desviació estàndard.

Exercici 15, pàgina 8

1. 1s
2. 6’25

Tema 4.- Descripció numèrica de dades univariants: mesures de posició, de dispersió, etc.

Estandarització de dades

Zi = xi – mitjana / s x1,…,xn à z1,…,zn // dades original à dades estandaritzades

Per exemple, x1 = 13 13 – 10 / 1’5 = 2

Son nombres petits per trebalalr facilment. _{n i = 1}

Que entenen per "centrar dades"?

És una operació de restar a les dades la mitjana.

A les dades que tenim li restem la mitjana, d’aquesta manera queden centrades al voltant del 0, més o menys apropades, però al seu voltant.

Per exemple, 3, 4, 4, 7, la mitjana és 4’5, i s = 1’5

Si centrem:

3 à 3 – 4’5 = -1’5

4 à 4 – 4’5 = -0’5

7 à 7 – 4’5 = 2’5

Les dades centrades són : -1’5, -0’5, -0’5, 2’5.

La mitjana és 0, i s= 1‘5. L’única que s’ha fet és traslaldar les dades cap a l’esquerra.

Conclusió, es substitueixen les dades originals per les seves desviacions respecte de a mitjana. I la mitjana sempre és 0, i la s es manté igual a la que ja tenia a les dades originals.

Què entenem per "estandaritzacó"?

També es diu "tipificació". Vol dir transformar les dades originals segons:

valors – mitjana / s

Efectes de l’estandarització, les dades estandaritzades es situen al voltant del zero, més concentrades que a les dades originals en elcas que s > 1 i més disperses en el cas que s < 1, si s = 1 queden igual.

Dades estandaritzades:

3 à 3 – 4’5 / 1’5 = -1

4 à 4 – 4’5 / 1’5 = -1/3 = -0’3

7 à 7 – 4’5 / 1’5 = 5/3 = 2’3

La mitjana sempre és 0, i s = 1, sempre.

Serveix per saber com està cada dada respecte del colectiu les dades estàndard es sol representar amb "z".

Z = valor – mitjana / s u valor = mitjana + z * s

Per exemple, 7 à 2’33 (x – z)

7 es troba 2’33 vegadas de la desviació estàndard, per damunt de la mitjana.

3 es troba per sota de la mitjana a 1s. En els llibres anglesos a la estandarització, z-scores.

Serveix per poder comparar dos col·lectius.

Modelització. Introducció

En què consisteix la descripció de dades?

•  
• Gràfiques, taules, que donen una primera organització de dades.
•  
• Patró de comportament global, dades extremes, s’assembla o està proper a algún model matmàtic.
•  
• Càlcul de mesures de centre i de dispersió.

El model Normal

Distribució de campana de Gauss u apareix estudiar al segle passat quan es va estudiar la teoria dels errors de medició (l’error és la desviació), i aquests eren els mateixos, unes en positiu, i els altres en negatiu. Al voltant del 0 molts valors, i com més lluny, menys gent.

Característiques:

La Llei Normal N (mitjana, s).

L’amplada de sigma va des del centre al punt d’inflexió.

Propietats:

•  
• simètrica respecte l’eix x = mitjana
•  
• punts d’inflexió, x = mitjana ± s
•  
• amb un rang de 6s tenim pràcticament total distribució (99’7).

•  
• mitjana + s i –mitjana –s es trobaran el » 68% de dades.
•  
• mitjana + 2s i –mitjana –2s es trabaran » 95% de dades, només un 5% de les dades es trobaran a una distancia e mitjana de 2s.

N (266, 16)

266, mitjana -s = 250; mitjana +s = 282

Hi ha tabulacions a les fotocopies.

Per exemple,

-1 u 0’16 a l’esquerra de –1

-1’05 u 0’1469, és 14’69% de les dades a l’esquerra de –1’05

2’3 = 98’93%

Si x és N (mitjana, s) i transformen les dades fent una estandarització.

El resultat és que les dades un cop transformades segueixen una llei Z ~ N (0,1)

X à Z = 240 – 266 / 16 = -26 / 16 = -1’625

270 – 266 / 16 = 4 / 16 = 0’25

Entre 240 i 270 54’66%

Quins tenen el 20% més llarg:

X/16 = 0’85 u x – 266 = 13’6 u El 20% durant més de 179 dies.

Tema 5.- Estandarització de dades quantitatives. Ajust normal a una distribució de dades.

Tractament de dades bivariants

De cada individu (o unitat estadística) estudiarem dos trets (o variables estadístiques).

RELACIÓ ENTRE VARIABLES QUALITATIVES

Taules de contingencia(creuades, de doble entrada…)

Son taules de freqüencia creuant variables.

Per exemple, 400 persones a l’atzar, es va preguntar la seva opinió sobre la reducció de despesa en programes socials, i si estaven o no afiliats a algún sindicat.

Taula 1, Taula de freqüencia absoluta

Creua la variable opinió i estar o no afiliat.

Es sol treballar amb taules freqüencies relatives.

Taula 2 , Taula de freqüencies respecte el total d’observació (El Gran Total)

Cal calcular el percentatge per files per poder comparar la deficiencia entre afiliats i no afiliats.

Taula 3 , Taula relativa respecte el total de cada fila o Taula de freqüencies condicionades

També es pot fer per columnes, si ens calgués.

Per representar-ho gràficament es pot fer el diagrama de barres acumulades o per sectors.

Es pot fer l’exercici 1 del Full 3

Exercici 2 del Full 3

10 / 38 / 48 nois 30, noies 60, total 90

20 / 22 / 42

30 / 60 / 90

d) 0’53 = 53’3% e) 0’11 = 11’1% f) 79’1%

RELACIÓ ENTRE VARIABLES NUMÈRIQUES/QUANTITATIVES

(x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n)

n individus o unitats estadístiques

De cada individu estudiem 2 característiques

x / y à variables estadístiques

Estudi bivariant:

Objectiu:

•  
• quin tipus d’associció presenten les dos variables
•  
• quantificar aquesta associació, si és que n’hi ha
•  
• trobar un patró de comportament, com varia una variable en funció de l’altra
•  
• es poden fer prediccions d’una variable a partir de l’altra

Associació entre dues variables

S’acostuma a estudiar via gràfic, diagrama de dispersió (núvol de punts)

En general Y s’utilitza per variable dependent o resposta, o output.

La X s’anomena variable independent o explicativa, o regressora, o input.

Hi ha una mena de núvol que diu que els valors més alts de X es corresponen, associen, en valors alts de la Y. És Associació positiva. L’Associació negativa quan X és gran i Y petit.

Fotocopia 228, 1er. associació lineal positiva lleu, 2on. associació lineal negativa forta, 3er. no hi ha cap patró absència d’associació, 4rt. Corba, associació no lineal.

Coeficient de correlació lineal (De Pearson)

Es un nombre que es calcula a partir de les dades que mesura el grau d’associació lineal.

r = covariancia entre X i Y / sx·sy = sxy / sx·sy

covariancia entre Xi Y = cov (X,Y) = sxy = å / n

El creuament es sol anomenar centre de gravetat

Punts del quadrant signe de I II III IV

Positiu Negatiu Positiu Negatiu

La suma sxy será positiva, perquè hi ha més valors positius que negatius. Associació lineal positiva v acompanyada d’una variancia positiva. I viceversa.

r és molt fàcil d’interpretar

•  
• r sempre pren valors; -1<= r <= 1, entre 1 i –1
•  
• r = 1 associació lineal positiva perfecta
•  
• r = -1 assoiciació linel negativa perefecta
•  
• r = 0 no hi ha associació lineal, però pot ser d’una altra mena (una paràbola quadràtica o exponencial)
•  
• entre 0 i 1 associació lineal positiva, més forta quan més a propo està d’1.
•  
• Entre –1 i 0 associació ineal negativa, més forta quan més a prop està de –1.

Problema fotocopia 228

Investigació Xi Guanys Yi

40 50 0 0 0 0 0

40 60 0 10 0 100 0

30 40 -10 -10 100 100 100

50 50 10 0 100 0 0

Mitjana X 40; Mitjana Y 50

Coeficient de correlació sxy = 25, sx = Å 50, sy = Å 50

r = 25/Å 50 Å 50 = 0’5

Ja es pot considerar en pensar en una petita correlació.

La recta imaginaria s’anomena Recta d’ajust o Recta de regressió.

Interpretació dels coeficients de la recta.

y = a + bx on "a" és ordenada origen (intercept), i "b" és la pendent (slope)

Recta d’ajust a un núvol de punts

•  
• suposem que el gràfic més el valor "r" ens parlen d’una associació lineal entre X i Y
•  
• passem a trobar l’ecuació de la recta d’ajust

^y = a + bx dona el promig dels valors reals. Hi ha un petit error entre les dades reals i les prediccions de la recta.

Es troba amb els mètodes dels mínims quadrats ordinaris, la recta que fa que les desviacions siguin els més petits possibles.

e_i = y_i - ^y_i u y_i és l’observació, ^y_i és la predicció

residu = observació – predicció segons el model observat

Els mètodes dels mínims² determinen els valors de "a" i "b" tals que å e² = és mínima

a = y – b

b = r sy / sx

Qué observem?

•  
• el signe de "b" i "r" coincideixen
•  
• "b" i "r" son igual quan les sy y sx coincideixen i quan les dades son estandaritzades.

^y = 30 + 0’5x. La utilitat d’aquesta recta és per poder fer prediccions, el valor promig de guany que té l’empresa per inversió que ha fet, per exemple inversió de 55:

^y_(x=55) = 30 + 0’5·55 = 57’5Ê