Заочный математический кружок "Задача в неделю"
Руководитель С.И.Соболев, sobolev@karelia.ru
----------------------------------------------------------------
23.01.00
Задание 10. Экзаменационные задачи [1]
Решения принимаются в течение 3 недель до 13 февраля включи-
тельно, письма -- только в текстовом виде (не html) в кодировке
KOI8-R без аттачментов (без рисунков). Указывайте свою фамилию,
имя, класс (или возраст), школу. Для коллективных решений от
школьных кружков, кроме того, требуется фамилия, имя и отчество
руководителя кружка.
Публикуемые задачи -- одни из тех, которые предназначались
для математического кружка "Сигма" для 10-11 классов, -- из
несложных вариантов вступительных экзаменов в вузы, на которых
можно было бы неплохо потренироваться. Я писал, что кружок
"Сигма" будет работать недолго, до лета. Он предполагался как
вспомогательный для тех старшеклассников, кто только начинает
заниматься в кружке "Задача в неделю" и параллельно тренируется
по решению задач вступительных экзаменов (что стоит начинать
делать в 10-ом классе). Но оказалось, что кружок "Сигма" совсем
не заработал, так как опубликованные материалы не нашли жела-
ющих решать задачи. Поэтому я с удовольствием прекращаю эту
лишнюю заботу, вступительные экзамены в вузы -- мало интересная
для меня тематика. Но часть подготовленных задач все-таки пуб-
ликую в кружке "Задача в неделю".
В интернете можно найти чрезвычайно много задач вступитель-
ных экзаменов, олимпиад, математических кружков, все это невоз-
можно даже просто описать! Поэтому я стараюсь публиковать толь-
ко то, с чем так или иначе связан сам. Так и сейчас я представ-
ляю задачи, подобранные или придуманные мною для вступительных
экзаменов в Карельский государственный педагогический универси-
тет (и для школьного выпускного, засчитываемого за вступитель-
ный). Среди них есть доступные школьникам 6-8 классов, так что
эти участники кружка и здесь оказываются не обделенными задача-
ми. Если кто-то захочет получить в дополнение к этим избранным
задачам оригинальный текст моих вариантов 1999 года (со всем
"мусором" в виде традиционных задач), то я могу выслать заархи-
вированный zip'ом исходный файл для LaTeX2e, а также полученные
из него ps (постскриптовский) и pdf файлы.
10.01. Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из
двух городов, первый -- из A в B, второй -- из B в A. Они
встретились в полдень и прибыли первый в B в 16 часов, а второй
в A -- в 21 час. Найдите время отправления поездов.
10.02. Числа 1/5, 1/3 и 1/2 являются членами арифметической
прогрессии (1/5 -- первым, 1/2 -- последним). а) приведите при-
мер такой арифметической прогрессии и вычислите сумму ее чле-
нов; б) найдите наибольшее возможное значение разности такой
арифметической прогрессии.
10.03. В букинистическом магазине книжку стоимостью 350 рублей
уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это
число, если известно, что после двойного снижения цен собрание
сочинений стоит 283 руб. 50 коп.
10.04. Две прямые, параллельные стороне правильного треугольни-
ка, делят другие стороны на три равные части. В каком отношении
они делят площадь треугольника?
10.05. a) Диагонали выпуклого четырехугольника равны и перпен-
дикулярны, а площадь его равна 1. Найдите длины диагоналей.
б) Дополнительно известно, что периметр этого четырехугольника
равен 4 и что в нем какие-то две стороны параллельны. Найдите
длины сторон.
10.06. В окружность радиуса 1 вписана трапеция, у которой ниж-
нее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найдите
площадь этой трапеции.
10.07. Радиус окружности, описанной около прямоугольного тре-
угольника, равен 5 см, а радиус окружности, вписанной в этот
треугольник, равен 2 см. Найдите периметр этого треугольника.
10.08. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и острым уг-
лом a вписана окружность.
а) Выразите через a площадь и периметр этого треугольника и оп-
ределите, при каком значении a они наибольшие.
б) Выразите через a диаметр вписанной окружности. Преобразовав,
если необходимо, полученную формулу, покажите, что он равен
cos a + sin a - 1.
10.09. Парабола y=ax^2 делит квадрат 0<=x<=a, 0<=y<=a на две
части.
а) Найдите отношение площади большей части к площади меньшей
части при a=1, a=2 и при a=1/2.
б) При каком значении a это отношение равно 1 ?
10.10. Дан многочлен P(x) = x^2 - 2 a x + 1.
а) При каких a этот многочлен имеет хотя бы один корень?
б) Найдите сумму квадратов корней этого многочлена.
в) Найдите наименьшее значение суммы квадратов корней.
10.11. Решите уравнение 2^x + 2^{-x} = a для a=17/4, a=10/3 и
a=2sqrt{5}.
10.12. Пусть f(x)=cos(2 arcsin x). а) Упростите правую часть и
нарисуйте (или опишите) график функции f; б) Найдите наибольшее
и наименьшее значения функции f и точки, в которых они достига-
ются.
10.13. В треугольнике длины двух сторон равны 10 и 24, а радиус
описанной окружности равен 13. Найдите длину третьей стороны.
10.14. Укажите на окружности (x-8)^2+(y+6)^2=25 точку, наиболее
удаленную от начала координат.
10.15. а) При каких значениях параметра a уравнение x^2-2*x = a
имеет единственное решение?
б) Решите уравнение 2^{2t} - 2*2^t = 3.
в) Решите уравнение 2^{2t} - 2*2^t = a. При каких значениях a
это уравнение имеет единственное решение?
10.16. Функция f(x) = (x - a)(x^2 - 1) имеет экстремум в точке
x=1. Найдите другую точку экстремума и выясните, какая из них
является точкой максимума.
10.17. Арбуз имеет форму шара диаметром 30 см, корка у арбуза
ровная и не толще 1.5 см. Какую часть объема арбуза может зани-
мать мякоть?
О задачах
10.01. Это переформулировка задачи, широко упоминаемой В.И.Ар-
нольдом.
10.02. Эта задача - по мотивам "Алгебры" Гельфанда и Шеня. Вы-
пускной школьный экзамен 1999 г.
10.03. Традиционная задача "на проценты".
10.04. Можно ли сделать такой рисунок, чтобы из него все было
видно?
10.05. Придумана для школьного выпускного экзамена 1999 г., до-
пускает различные подходы и может быть развита.
10.06. Следите за логикой решения.
10.07. Попробуйте использовать только геометрию и не обращаться
к алгебре.
10.08. Задача по мотивам учебника Башмакова, близка к предыду-
щей. Выпускной школьный экзамен 1996 г.
10.09. Придумана для выпускного школьного экзамена 1996 г.
10.10. Будьте внимательны, решая эту задачу!
10.13. Сколько решений имеет задача?
----------------------------------------------------------------
Адрес для отправки решений: sobolev@karelia.ru
Руководитель кружка Соболев Сергей Игоревич, к.ф.-м.н., доцент
кафедры математического анализа Карельского гос. пед. универси-
тета (Петрозаводск).
Новички могут узнать правила кружка по электронной почте у ру-
ководителя. Занятия в кружке бесплатные.
Материалы кружка распространяются через список рассылки CSMath,
для подписки на него нужно послать пустое письмо по адресу
CSMath-subscribe@onelist.com
и потом ответить на присланное письмо. А если Вы не хотите
больше получать эти материалы, то для отписки нужно послать
пустое письмо по адресу
CSMath-unsubscribe@onelist.com
----------------------------------------------------------------
(С) С.И.Соболев, 2000