Uma lei simples...............um comportamento complexo.

Folhas ao vento

Sem dúvida vocês já se depararam com movimento desordenado das folhas mortas nos dias de muito vento. Nenhuma regularidade se manifesta em seus deslocamentos: elas sobem, descem, bailam e param em pleno ar... se detêm e tornam a descer. Impossível adivinhar qual será sua trajetória.

Pensando nisso vocês imaginaram que a causa de um movimento tão complexo fosse também de grande complexidade. E acertaram: a folha sofre inúmeras influências de turbilhões de ar de todos os tamanhos, energia e direção.

Desta maneira vocês deduziram que um comportamento complexo tem necessariamente uma causa complexa. ERRARAM!

Exemplo simples (será, mesmo?)

Por mais paradoxal que seja hoje conhecemos inúmeros casos de evoluções perfeitamente desordenadas que, porém resultam de uma causa muito simples.

Tomemos aqui um criador de gado. Sabemos que se alguns animais (de ambos os sexos!) são postos em um campo com condições favoráveis sua população em média cresce. Para avaliar este crescimento não é necessário contar o gado a todo momento. Pode se fazer uma contagem em cada ano, registrando o número. Assim se obterá uma sequência P n-1, P n, P n+1 ... em que o índice n significa o número de ordem do ano. A experiência mostra que se o número de animais não é muito grande, cada ano que se passa a população é multiplicada por um certo número C.

Expressa em forma algébrica esta fórmula ficaria assim : P n+1 = C x P n. Esta lei simplíssima permite prever a população do anos seguinte com base na população atual (Assim se neste ano temos 10 animais(P n =10), e a cada ano a população dobra (C = 2), no próximo ano teremos 20 animais (P n+1 = 20).

No entanto esta fórmula somente descreve a realidade quando a população é pequena e o cálculo a curto prazo. Pois acabamos de entrar em contato com uma fórmula que descreve uma lei de crescimento exponencial. Por mais banal que pareça a iteração, ela pode levar a números gigantescos ao cabo de alguns anos ou décadas, ou seja partindo de uma criação de gado com 100 animais ao final de uma década estaríamos beirando a casa dos 800 mil animais. Logo se vê que esta fórmula não pode descrever a realidade, pois chegará um momento que a população irá encontrar fatores que limitem ou mesmo invertam seu crescimento.

Um toque a mais

O conceito de fatores inibidores de crescimento foi enxertado nesta fórmula pelo pesquisador Verhulst (1804-1849) a partir do prolongamento das idéias de Thomas Maltus (1766-1834). Assim, segundo ele, uma população poderia crescer indefinidamente, mas, pelo contrário, devia limitar-se a um valor máximo. Desta maneira, o crescimento não é mais constante, mas dependeria da grandeza da população. Portanto C não é mais constante, mas deve ser escrito como:

C = K x (P i – P n)

Onde P i representa a população máxima. Assim a lei de crescimento se escreve:

P n +1 = K x P n x (P i – P n)

Esta fórmula foi batizada como "função logística" e serve de modelo universalmente utilizado para estudos de sistemas dinâmicos.

A partir do tamanho da população atual e máxima pode se ter o valor de K. Se K é menor que 3 veremos que depois de um período de crescimento, as sucessivas iterções convergem para um ponto de equilíbrio P*. Este resultado é, afinal de contas, muito natural: a população acaba se estabilizando.

Agora se aumentarmos progressivamente o valor k, chegando a um valor de 3 para o qual o regime de crescimento muda. Desta vez existem dois pontos de equilíbrio que se alternam sucessivamente no decorrer dos anos. Ou seja, a população voltará a ser a mesma a cada dois anos, alternando entre seu maior e menor valor.

Para um valor de K = 3,45 um novo padrão se estabelece com a população voltando a ser a mesma a cada quatro anos.

Esta mudança de regime, que faz passar, dado um valor perfeitamente deifinido de K, de um regime único estado de equilíbrio a outro que há dois, e daí quatro é chamado de bifurcação.

Talvez você tenha adivinhado que esse processo de duplicação se repete ao infinito e que para novos valores de K, outras bifurcações aparecem, a partir das quais o período é, cada vez dobrado. O que em compensação, não é de modo algum evidente, embora essencial é o fato de os valores de K se aproximarem cada vez mais. Essas sucessivas bifurcações ficam cada vez mais próximas e acabam se acumulando em valor de K (3,57 aproximadamente), para além do qual já não são 8, 16 ou 256 anos que é preciso esperar para reencontrar o valor de uma população anterior, e sim um tempo infinito.

Em outras palavras, não reencontramos nunca mais uma seqüência obtida anteriormente.

A bifurcação para o caos

Este valor de K constitui o limite entre dois regimes ou comportamentos qualitativamente diferentes. Para K inferior a 3,57 as populações se repetem, aguardando conforme o valor de K, um intervalo de tempo de 2, 4, 6, 16 anos. É o eterno retorno, por assim dizer esta repetição permite prever o futuro com base no passado.

Pelo contrário se K for superior nada disso é possível. Os valores da população se sucedem de maneira desordenada e aperiódica, como se obedecessem apenas ao acaso.

É realmente surpreendente que uma lei de evolução tão simples e determinista quanto a função logísticas possa ter um comportamento caótico para certos valores de K. Por sua vez é ainda mais estranho que a imprevisibilidade e caos possam ser demonstrados no seio de uma lei, cujo o papel é justamente combater o acaso e demonstrar o futuro.